MathUp - Tests d'hypothèses (Spécialité Mathématiques)

Introduction aux tests d'hypothèses

Les tests d'hypothèses sont des outils statistiques utilisés pour prendre des décisions basées sur des données d'échantillon. Ils permettent de déterminer si une affirmation sur une population est vraisemblable ou non.

Un test d'hypothèse est une procédure qui consiste à rejeter ou ne pas rejeter une hypothèse statistique basée sur un échantillon de données.

Éléments clés d'un test d'hypothèse

Hypothèse nulle (H₀) : l'affirmation initiale que l'on cherche à tester
Hypothèse alternative (H₁) : l'affirmation opposée à H₀
Statistique de test : une mesure calculée à partir de l'échantillon
Niveau de signification (α) : la probabilité de rejeter H₀ alors qu'elle est vraie
P-valeur : la probabilité d'obtenir un résultat au moins aussi extrême que celui observé, sous l'hypothèse nulle

Étapes d'un test d'hypothèse

Formuler les hypothèses H₀ et H₁
Choisir un niveau de signification α
Calculer la statistique de test
Déterminer la p-valeur
Prendre une décision : rejeter H₀ si p-valeur < α, ne pas rejeter H₀ sinon

Un fabricant affirme que le temps moyen d'assemblage d'un produit est de 30 minutes. On souhaite vérifier cette affirmation.

H₀ : μ = 30 minutes

H₁ : μ ≠ 30 minutes

Niveau de signification : α = 0.05

On prélève un échantillon de 50 produits et on calcule le temps moyen d'assemblage : \(\bar{x} = 32\) minutes avec un écart-type s = 5 minutes.

Types de tests

1. Test sur la moyenne

Utilisé pour tester une hypothèse sur la moyenne d'une population.

Pour un grand échantillon (n ≥ 30), la statistique de test est : \[ Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} \] où \(\bar{X}\) est la moyenne de l'échantillon, \(\mu_0\) est la valeur hypothétique de la moyenne, \(\sigma\) est l'écart-type de la population, et n est la taille de l'échantillon.

2. Test sur la proportion

Utilisé pour tester une hypothèse sur la proportion d'une population.

La statistique de test pour une proportion est : \[ Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}} \] où \(\hat{p}\) est la proportion observée dans l'échantillon, \(p_0\) est la proportion hypothétique, et n est la taille de l'échantillon.

3. Test de comparaison de deux moyennes

Utilisé pour comparer les moyennes de deux populations indépendantes.

Pour de grands échantillons, la statistique de test est : \[ Z = \frac{(\bar{X}_1 - \bar{X}_2) - (\mu_1 - \mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}} \] où \(\bar{X}_1\) et \(\bar{X}_2\) sont les moyennes des échantillons, \(\mu_1\) et \(\mu_2\) sont les moyennes des populations, \(\sigma_1\) et \(\sigma_2\) sont les écarts-types des populations, et \(n_1\) et \(n_2\) sont les tailles des échantillons.

Distribution normale et tests d'hypothèses

La distribution normale joue un rôle crucial dans de nombreux tests d'hypothèses. Voici une représentation graphique de la distribution normale standard :

Erreurs de type I et de type II

	H₀ est vraie	H₀ est fausse
On rejette H₀	Erreur de type I (α)	Décision correcte (1 - β)
On ne rejette pas H₀	Décision correcte (1 - α)	Erreur de type II (β)

- Erreur de type I (α) : probabilité de rejeter H₀ alors qu'elle est vraie
- Erreur de type II (β) : probabilité de ne pas rejeter H₀ alors qu'elle est fausse
- Puissance du test : 1 - β, probabilité de rejeter H₀ quand elle est fausse

Conclusion

Les tests d'hypothèses sont des outils puissants pour prendre des décisions basées sur des données. Il est crucial de comprendre leurs limites et d'interpréter correctement les résultats.

Pratiquer avec des exercices