Introduction aux inéquations à double sens
Les inéquations à double sens sont des inégalités qui impliquent deux comparaisons simultanées. Par exemple, a < x < b signifie que x est à la fois supérieur à a et inférieur à b. Ces inéquations sont particulièrement utiles pour décrire des intervalles de valeurs.
Exercice 1 : Résolution d'une inéquation à double sens
Résolvez l'inéquation suivante :
-2 < 3x - 1 < 5
Solution :
- Ajoutons 1 à chaque partie de l'inéquation :
-1 < 3x < 6
- Divisons chaque partie par 3 :
-1/3 < x < 2
La solution est donc l'intervalle ]-1/3 ; 2[, ce qui signifie que x peut prendre toutes les valeurs strictement supérieures à -1/3 et strictement inférieures à 2.
Exercice 2 : Interprétation graphique
Représentez graphiquement sur une droite graduée la solution de l'inéquation :
-1 ≤ 2x + 3 < 7
Solution :
- Soustrayons 3 à chaque partie de l'inéquation :
-4 ≤ 2x < 4
- Divisons chaque partie par 2 :
-2 ≤ x < 2
La solution est l'intervalle [-2 ; 2[, ce qui signifie que x peut prendre toutes les valeurs supérieures ou égales à -2 et strictement inférieures à 2.
Exercice interactif : Inéquation avec valeur absolue
Résolvez l'inéquation suivante et donnez la solution sous forme d'intervalle :
-1 < |x - 2| ≤ 3
Indice : Pensez à séparer cette inéquation en deux cas, en fonction du signe de (x - 2).
Entrez votre réponse sous la forme [a;b[ ou ]a;b] ou ]a;b[ :
Exercice 4 : Application concrète
Un cycliste doit maintenir sa vitesse entre 15 km/h et 25 km/h pour une course de 40 km. Exprimez le temps de course possible sous forme d'une inéquation à double sens, puis résolvez-la.
Solution :
- Soit t le temps en heures. On peut écrire : 15 ≤ 40/t ≤ 25
- Inversons l'inéquation (en changeant le sens des inégalités) :
40/25 ≤ t ≤ 40/15
- Simplifions :
1,6 ≤ t ≤ 2,67
Le temps de course possible est donc compris entre 1,6 heures (1 heure 36 minutes) et 2,67 heures (2 heures 40 minutes).