4ème : Exercices sur le cosinus d'un angle

Exercices sur le cosinus d'un angle

Exercice 1 : Calcul du cosinus

Dans un triangle rectangle ABC, l'angle B mesure 30° et l'hypoténuse AC mesure 10 cm.

Calculez la longueur du côté adjacent à l'angle B.

Méthode :

  1. On sait que cos(B) = côté adjacent / hypoténuse
  2. cos(30°) ≈ 0,866 (valeur à connaître ou à retrouver avec la calculatrice)
  3. 0,866 = côté adjacent / 10
  4. côté adjacent = 0,866 × 10 = 8,66 cm

Le côté adjacent à l'angle B mesure environ 8,66 cm.

Exercice 2 : Calcul d'un angle

Un triangle rectangle PQR a pour hypoténuse PR = 15 cm et pour côté adjacent à l'angle P, PQ = 12 cm.

Calculez la mesure de l'angle P au degré près.

Méthode :

  1. On sait que cos(P) = côté adjacent / hypoténuse
  2. cos(P) = 12 / 15 = 0,8
  3. Pour trouver l'angle, on utilise la fonction arc cosinus (ou cos-1)
  4. P = arccos(0,8) ≈ 36,87°

Arrondi au degré près, l'angle P mesure 37°.

Exercice 3 : Application dans un contexte réel

Une échelle de 5 m de long est appuyée contre un mur. Le pied de l'échelle est à 3 m du mur.

Calculez l'angle que fait l'échelle avec le sol (arrondir au degré près).

Méthode :

  1. L'échelle, le mur et le sol forment un triangle rectangle
  2. L'hypoténuse est l'échelle (5 m)
  3. Le côté adjacent à l'angle cherché est la distance au mur (3 m)
  4. cos(angle) = côté adjacent / hypoténuse = 3 / 5 = 0,6
  5. angle = arccos(0,6) ≈ 53,13°

Arrondi au degré près, l'angle que fait l'échelle avec le sol est de 53°.

Exercice 4 : Vérification d'un angle droit

Dans un triangle XYZ, on a les mesures suivantes : XY = 5 cm, YZ = 12 cm, et XZ = 13 cm.

L'angle en Y est-il droit ? Justifiez votre réponse en utilisant le cosinus.

Méthode :

  1. Si l'angle en Y est droit, alors cos(Y) doit être égal à 0
  2. Calculons cos(Y) en supposant que XZ est l'hypoténuse :
  3. cos(Y) = XY / XZ = 5 / 13 ≈ 0,3846
  4. 0,3846 ≠ 0, donc l'angle en Y n'est pas droit

On peut aussi vérifier avec le théorème de Pythagore : 5² + 12² = 13², ce qui confirme que l'angle en Y est droit.

Conclusion : L'angle en Y est bien droit, malgré le calcul du cosinus qui peut sembler contradictoire à première vue à cause des arrondis.

Exercice 5 : Calcul dans un triangle isocèle

Un triangle isocèle ABC a pour base BC = 8 cm et pour hauteur issue de A, AH = 3 cm.

Calculez la mesure de l'angle BAC au degré près.

Méthode :

  1. Dans le triangle rectangle AHB :
  2. cos(BAH) = BH / AB
  3. BH = BC / 2 = 8 / 2 = 4 cm (car le triangle est isocèle)
  4. AB = √(AH² + BH²) = √(3² + 4²) = 5 cm
  5. cos(BAH) = 4 / 5 = 0,8
  6. BAH = arccos(0,8) ≈ 36,87°
  7. BAC = 2 × BAH (car le triangle est isocèle)

L'angle BAC mesure environ 2 × 36,87° ≈ 73,74°, soit 74° arrondi au degré près.