Rappel : Triangles semblables
Deux triangles sont semblables si :
- Leurs angles sont égaux deux à deux
- Les longueurs de leurs côtés sont proportionnelles
Le rapport de similitude est le rapport constant entre les longueurs des côtés correspondants.
Exercices
Exercice 1 : Identification de triangles semblables
Soit les triangles ABC et DEF avec les mesures suivantes :
- ABC : AB = 6 cm, BC = 8 cm, AC = 10 cm
- DEF : DE = 9 cm, EF = 12 cm, DF = 15 cm
Ces triangles sont-ils semblables ? Si oui, quel est le rapport de similitude ?
Oui, ces triangles sont semblables.
Rapport de similitude : 9/6 = 12/8 = 15/10 = 3/2
Explication : Les longueurs des côtés sont proportionnelles avec un rapport constant de 3/2.
Exercice 2 : Calcul de longueurs
Les triangles ABC et A'B'C' sont semblables avec un rapport de similitude de 2/3. Si AB = 9 cm et BC = 12 cm, calculez A'B' et B'C'.
A'B' = (2/3) * AB = (2/3) * 9 = 6 cm
B'C' = (2/3) * BC = (2/3) * 12 = 8 cm
Exercice 3 : Application du théorème de Thalès
Dans un triangle ABC, D est un point du côté [AB] et E un point du côté [AC] tels que (DE) soit parallèle à (BC). On donne : AD = 4 cm, DB = 6 cm, AE = 5 cm.
Calculez EC.
D'après le théorème de Thalès, les triangles ADE et ABC sont semblables.
On a le rapport : AD/AB = AE/AC
4/10 = 5/AC
AC = (5*10)/4 = 12.5 cm
EC = AC - AE = 12.5 - 5 = 7.5 cm
Exercice 4 : Problème concret
Un photographe veut déterminer la hauteur d'un immeuble. Il remarque que lorsqu'il se tient à 15 mètres de l'immeuble, son ombre mesure 2 mètres, tandis que l'ombre de l'immeuble mesure 30 mètres. Sachant que le photographe mesure 1,80 m, quelle est la hauteur de l'immeuble ?
Les triangles formés par le photographe et son ombre, et par l'immeuble et son ombre sont semblables.
Rapport de similitude : 30/2 = 15
Hauteur de l'immeuble = 1,80 * 15 = 27 mètres