Exercices sur les Suites (Première) - Page 2

Exercice 6: Suites et fonctions

Moyen

Soit f la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = 2x - 3\). On définit la suite \((u_n)\) par \(u_0 = 5\) et pour tout entier naturel n, \(u_{n+1} = f(u_n)\).

  1. Calculer \(u_1\), \(u_2\), et \(u_3\).
  2. Montrer que pour tout entier naturel n, \(u_n = 2^n(5-3) + 3\).
  3. Étudier la monotonie de la suite \((u_n)\).
  4. La suite est-elle convergente ? Si oui, déterminer sa limite.
Voir la solution

Solution

Calcul des premiers termes :

  • \(u_1 = f(u_0) = 2 \cdot 5 - 3 = 7\)
  • \(u_2 = f(u_1) = 2 \cdot 7 - 3 = 11\)
  • \(u_3 = f(u_2) = 2 \cdot 11 - 3 = 19\)

Démonstration par récurrence que \(u_n = 2^n(5 - 3) + 3\) :

  • Initialisation : Pour \(n = 0\), \(u_0 = 5\), et \(2^0(5 - 3) + 3 = 5\), donc la propriété est vraie pour \(n = 0\).
  • Hérédité : Supposons que pour un entier \(k \geq 0\), \(u_k = 2^k(5 - 3) + 3\). Montrons que \(u_{k+1} = 2^{k+1}(5 - 3) + 3\).
  • \(u_{k+1} = f(u_k) = 2u_k - 3 = 2(2^k(5 - 3) + 3) - 3 = 2^{k+1}(5 - 3) + 3\)

Par récurrence, la propriété est vraie pour tout entier naturel \(n\).

Monotonie de la suite : La suite est strictement croissante car \(u_{n+1} = 2u_n - 3 > u_n\) pour \(u_n > 3\).

Convergence : La suite n'est pas convergente car elle croît indéfiniment.

Exercice 7: Suite définie par parties

Difficile

On considère la suite \((v_n)\) définie pour tout entier naturel n par :

\[v_n = \begin{cases} 2n + 1 & \text{si n est pair} \\ n^2 - 1 & \text{si n est impair} \end{cases}\]

  1. Calculer les 6 premiers termes de la suite.
  2. La suite est-elle arithmétique ? Géométrique ? Justifier.
  3. Démontrer que pour tout entier naturel k, \(v_{2k+1} > v_{2k}\).
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Solution

Calcul des premiers termes :

  • \(v_0 = 2 \cdot 0 + 1 = 1\)
  • \(v_1 = 1^2 - 1 = 0\)
  • \(v_2 = 2 \cdot 2 + 1 = 5\)
  • \(v_3 = 3^2 - 1 = 8\)
  • \(v_4 = 2 \cdot 4 + 1 = 9\)
  • \(v_5 = 5^2 - 1 = 24\)

La suite n'est ni arithmétique ni géométrique car les différences ou les rapports ne sont pas constants.

Démonstration que \(v_{2k+1} > v_{2k}\) :

Pour \(v_{2k} = 2(2k) + 1 = 4k + 1\) et \(v_{2k+1} = (2k+1)^2 - 1 = 4k^2 + 4k + 1 - 1 = 4k^2 + 4k\), on a \(v_{2k+1} > v_{2k}\) pour tout entier naturel \(k\) car \(4k^2 + 4k > 4k + 1\).

Exercice 8: Étude de convergence

Moyen

On considère la suite \((w_n)\) définie par \(w_0 = 3\) et pour tout entier naturel n, \(w_{n+1} = \frac{w_n + 5}{2}\).

  1. Calculer les termes \(w_1\), \(w_2\), et \(w_3\).
  2. Montrer que pour tout entier naturel n, \(w_n < 5\).
  3. Démontrer que la suite \((w_n)\) est croissante.
  4. En déduire que la suite \((w_n)\) converge et déterminer sa limite.
Voir la solution

Solution

Calcul des premiers termes :

  • \(w_1 = \frac{w_0 + 5}{2} = \frac{3 + 5}{2} = 4\)
  • \(w_2 = \frac{w_1 + 5}{2} = \frac{4 + 5}{2} = 4.5\)
  • \(w_3 = \frac{w_2 + 5}{2} = \frac{4.5 + 5}{2} = 4.75\)

Démonstration que \(w_n < 5\) :

Pour \(w_0 = 3 < 5\), supposons \(w_k < 5\). Alors \(w_{k+1} = \frac{w_k + 5}{2} < \frac{5 + 5}{2} = 5\).

Par récurrence, \(w_n < 5\) pour tout \(n \geq 0\).

Démonstration que la suite est croissante :

Pour \(w_{n+1} - w_n = \frac{w_n + 5}{2} - w_n = \frac{5 - w_n}{2} > 0\) car \(w_n < 5\).

La suite est donc croissante.

Convergence et limite :

La suite est croissante et majorée par 5, donc elle converge vers 5.

Exercice 9: Application à la biologie

Difficile

Une population de bactéries double toutes les heures. Au départ, il y a 1000 bactéries.

  1. Exprimer le nombre \(N_n\) de bactéries après n heures en fonction de n.
  2. Calculer le nombre de bactéries après 5 heures.
  3. Au bout de combien d'heures la population dépassera-t-elle 1 million de bactéries ?
  4. On suppose maintenant que la population ne peut pas dépasser 10 millions de bactéries. Proposer une nouvelle expression pour \(N_n\) qui prend en compte cette limite.
Voir la solution

Solution

Expression de \(N_n\) :

\(N_n = 1000 \cdot 2^n\)

Nombre de bactéries après 5 heures :

\(N_5 = 1000 \cdot 2^5 = 1000 \cdot 32 = 32000\)

Heure où la population dépasse 1 million :

\(1000 \cdot 2^n > 1000000 \implies 2^n > 1000 \implies n > 10\). La population dépasse 1 million après 10 heures.

Expression avec limite de 10 millions :

\(N_n = \min(1000 \cdot 2^n, 10000000)\)

Exercice 10: Suites et sommes

Difficile

On considère la suite \((S_n)\) définie pour tout entier naturel n par :

\[S_n = 1 + 2 + 3 + ... + n = \sum_{k=1}^n k\]

  1. Calculer \(S_1\), \(S_2\), \(S_3\), et \(S_4\).
  2. On admet que pour tout entier naturel n, \(S_n = \frac{n(n+1)}{2}\). Démontrer cette formule par récurrence.
  3. Calculer \(S_{100}\).
  4. Déterminer le plus petit entier n tel que \(S_n > 1000\).
Voir la solution

Solution

Calcul des premiers termes :

  • \(S_1 = 1\)
  • \(S_2 = 1 + 2 = 3\)
  • \(S_3 = 1 + 2 + 3 = 6\)
  • \(S_4 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10\)

Démonstration par récurrence :

  • Initialisation : Pour \(n = 1\), \(S_1 = \frac{1 \cdot (1 + 1)}{2} = 1\), donc la formule est vraie pour \(n = 1\).
  • Hérédité : Supposons que la formule est vraie pour un entier \(k\). Montrons qu'elle est vraie pour \(k + 1\).
  • \(S_{k+1} = S_k + (k + 1) = \frac{k(k + 1)}{2} + (k + 1) = \frac{k(k + 1) + 2(k + 1)}{2} = \frac{(k + 1)(k + 2)}{2}\).

Par récurrence, la formule est vraie pour tout entier naturel \(n\).

Calcul de \(S_{100}\) :

\(S_{100} = \frac{100 \cdot 101}{2} = 5050\)

Plus petit entier \(n\) tel que \(S_n > 1000\) :

\( \frac{n(n + 1)}{2} > 1000 \implies n(n + 1) > 2000\). En testant les valeurs, on trouve \(n = 45\).