Exercices sur les Suites (Première) - Page 3

On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel n par :

\[u_n = \frac{2n^2 + 3n + 1}{n^2 + 1}\]

1. Calculer les trois premiers termes de la suite.
2. Étudier la monotonie de la suite.
3. Montrer que pour tout entier naturel n non nul, on a : \(1 < u_n < 3\).
4. Déterminer la limite de la suite \((u_n)\) quand n tend vers l'infini. Justifier votre réponse.

Soit \((v_n)\) la suite définie pour tout entier naturel n par :

\[v_n = \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}\]

1. Calculer les quatre premiers termes de la suite. Que remarquez-vous ?
2. Démontrer que pour tout entier naturel n non nul, on a : \(0 < v_n < \frac{1}{2\sqrt{n}}\).
3. En déduire la limite de la suite \((v_n)\) quand n tend vers l'infini.

On considère la suite \((w_n)\) définie par \(w_0 = 2\) et pour tout entier naturel n :

\[w_{n+1} = \frac{w_n^2 + 3}{2w_n}\]

1. Calculer \(w_1\) et \(w_2\).
2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, \(w_n \geq \sqrt{3}\).
3. Montrer que la suite \((w_n)\) est décroissante.
4. En déduire que la suite \((w_n)\) converge et déterminer sa limite.

Une entreprise produit des objets. La production du premier mois est de 1000 objets. Chaque mois, la production augmente de 5% par rapport au mois précédent.

1. Modéliser la situation par une suite \((P_n)\) où \(P_n\) représente la production du nème mois.
2. Calculer la production des 2ème, 3ème et 4ème mois.
3. Exprimer \(P_n\) en fonction de n.
4. Au bout de combien de mois la production dépassera-t-elle 2000 objets ?

Soit f la fonction définie sur \([0;+\infty[\) par \(f(x) = \sqrt{x + 1}\). On définit la suite \((u_n)\) par \(u_0 = 2\) et pour tout entier naturel n, \(u_{n+1} = f(u_n)\).

1. Calculer \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\).
2. Démontrer que la suite \((u_n)\) est décroissante et minorée par 1.
3. En déduire que la suite \((u_n)\) converge. On note \(\ell\) sa limite.
4. Montrer que \(\ell = f(\ell)\) et en déduire la valeur de \(\ell\).