Exercices sur les Variations de Fonctions (Première)

Solution :

1. Calculons la dérivée : \(f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)\)

2. Étudions le signe de \(f'(x)\) :

• Pour \(x < 0\) et \(x > 2\), \(f'(x) > 0\)
• Pour \(0 < x < 2\), \(f'(x) < 0\)
• \(f'(0) = f'(2) = 0\)

3. Tableau de variations :

Solution :

1. Calculons la dérivée en utilisant la règle du quotient :

\(g'(x) = \frac{2(x^2+1) - 2x(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{2-2x^2}{(x^2+1)^2}\)

2. Étudions le signe de \(g'(x)\) :

• \(g'(x) = 0\) quand \(2-2x^2 = 0\), c'est-à-dire quand \(x = \pm 1\)
• Pour \(-1 < x < 1\), \(g'(x) > 0\)
• Pour \(x < -1\) et \(x > 1\), \(g'(x) < 0\)

3. Tableau de variations :

Solution :

1. Calculons la dérivée en utilisant la règle du produit :

\(h'(x) = (2x)e^x + (x^2-1)e^x = (2x+x^2-1)e^x = (x^2+2x-1)e^x\)

2. Étudions le signe de \(h'(x)\) :

• \(h'(x) = 0\) quand \(x^2+2x-1 = 0\)
• Résolvons cette équation : \(x = -1 \pm \sqrt{2}\)
• Posons \(a = -1-\sqrt{2}\) et \(b = -1+\sqrt{2}\)
• Pour \(x < a\) et \(x > b\), \(h'(x) > 0\)
• Pour \(a < x < b\), \(h'(x) < 0\)

3. Tableau de variations :

Remarque : Les valeurs exactes de h(a) et h(b) sont difficiles à calculer, mais on peut noter que h(a) > h(b).