Exercices d'application
Voici une série d'exercices pour vous entraîner sur les applications du nombre dérivé. N'hésitez pas à utiliser votre cours et à réfléchir avant de regarder les solutions.
Exercice 1 : Étude des variations
Soit \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1\) définie sur \(\mathbb{R}\).
- Calculer \(f'(x)\).
- Déterminer les intervalles où \(f\) est croissante et où elle est décroissante.
- En déduire les extremums de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
Solution de l'exercice 1
- \(f'(x) = 3x^2 - 6x + 2\)
-
\(f'(x) = 3(x^2 - 2x + \frac{2}{3}) = 3(x - 1)^2 - 1\)
\(f'(x) = 0\) pour \(x = 1 \pm \frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(f\) est croissante sur \(]-\infty, 1 - \frac{1}{\sqrt{3}}]\) et \([1 + \frac{1}{\sqrt{3}}, +\infty[\)
\(f\) est décroissante sur \([1 - \frac{1}{\sqrt{3}}, 1 + \frac{1}{\sqrt{3}}]\) -
\(f\) admet un maximum local en \(x = 1 - \frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(f\) admet un minimum local en \(x = 1 + \frac{1}{\sqrt{3}}\)
Exercice 2 : Équation de la tangente
Soit \(f(x) = x^2 - 2x + 3\).
- Calculer \(f'(x)\).
- Déterminer l'équation de la tangente à la courbe représentative de \(f\) au point d'abscisse 1.
Solution de l'exercice 2
- \(f'(x) = 2x - 2\)
-
Au point d'abscisse 1 : \(f'(1) = 2(1) - 2 = 0\)
\(f(1) = 1^2 - 2(1) + 3 = 2\)
L'équation de la tangente est : \(y = 0(x - 1) + 2\), soit \(y = 2\)
Exercice 3 : Approximation linéaire
Soit \(f(x) = \sqrt{x}\).
- Calculer \(f'(x)\).
- Donner une approximation linéaire de \(f\) au voisinage de \(x = 4\).
- Utiliser cette approximation pour estimer \(\sqrt{4.1}\).
Solution de l'exercice 3
- \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\)
-
\(f'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{4}\)
\(f(4) = 2\)
Approximation linéaire : \(f(x) \approx f(4) + f'(4)(x - 4) = 2 + \frac{1}{4}(x - 4)\) -
\(\sqrt{4.1} \approx 2 + \frac{1}{4}(4.1 - 4) = 2 + \frac{0.1}{4} = 2.025\)
(La valeur exacte est environ 2.024845...)