Exercices de Dérivation - Première

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Niveau : Facile

Exercice 1 : Dérivées de fonctions polynomiales

Calculez les dérivées des fonctions suivantes :

  1. \(f(x) = 3x^2 - 2x + 5\)
  2. \(g(x) = x^3 + 4x - 1\)
  3. \(h(x) = 2x^4 - 3x^2 + 7x\)
  1. \(f'(x) = 6x - 2\)
  2. \(g'(x) = 3x^2 + 4\)
  3. \(h'(x) = 8x^3 - 6x + 7\)
Niveau : Moyen

Exercice 2 : Dérivées de fonctions composées

Calculez les dérivées des fonctions suivantes :

  1. \(f(x) = (2x + 1)^3\)
  2. \(g(x) = e^{x^2}\)
  3. \(h(x) = \ln(3x - 1)\)
  1. \(f'(x) = 3(2x + 1)^2 \cdot 2 = 6(2x + 1)^2\)
  2. \(g'(x) = e^{x^2} \cdot 2x\)
  3. \(h'(x) = \frac{1}{3x - 1} \cdot 3 = \frac{3}{3x - 1}\)
Niveau : Difficile

Exercice 3 : Dérivées de fonctions rationnelles

Calculez les dérivées des fonctions suivantes :

  1. \(f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 2}\)
  2. \(g(x) = \frac{3x + 1}{x^2 - 4}\)
  3. \(h(x) = \frac{x}{x^2 + 1}\)
  1. \(f'(x) = \frac{(2x)(x-2) - (x^2+1)(1)}{(x-2)^2} = \frac{x^2-4x-1}{(x-2)^2}\)
  2. \(g'(x) = \frac{3(x^2-4) - (3x+1)(2x)}{(x^2-4)^2} = \frac{-3x^2-6x+12}{(x^2-4)^2}\)
  3. \(h'(x) = \frac{(1)(x^2+1) - x(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}\)
Niveau : Moyen

Exercice 4 : Application à l'étude des variations

Soit la fonction \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\) définie sur \(\mathbb{R}\).

  1. Calculez \(f'(x)\).
  2. Déterminez les intervalles sur lesquels \(f\) est croissante ou décroissante.
  3. Trouvez les extremums locaux de \(f\).
  1. \(f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)\)
  2. \(f'(x) = 0\) pour \(x=0\) et \(x=2\)
    \(f\) est croissante sur \(]-\infty, 0]\) et \([2, +\infty[\)
    \(f\) est décroissante sur \([0, 2]\)
  3. Minimum local en \(x=2\): \(f(2) = -2\)
    Maximum local en \(x=0\): \(f(0) = 2\)
Niveau : Difficile

Exercice 5 : Problème d'optimisation

Une boîte sans couvercle doit être fabriquée à partir d'une feuille rectangulaire de carton de dimensions 30 cm sur 40 cm. On découpe des carrés identiques aux quatre coins de la feuille, puis on plie les bords pour former la boîte.

  1. Exprimez le volume \(V\) de la boîte en fonction de la longueur \(x\) du côté du carré découpé.
  2. Calculez \(V'(x)\).
  3. Déterminez la valeur de \(x\) qui maximise le volume de la boîte.
  1. \(V(x) = x(30-2x)(40-2x) = 1200x - 140x^2 + 4x^3\)
  2. \(V'(x) = 1200 - 280x + 12x^2\)
  3. \(V'(x) = 0\) quand \(12x^2 - 280x + 1200 = 0\)
    Résolution : \(x \approx 5.83\) ou \(x \approx 17.17\)
    La solution \(x \approx 5.83\) cm maximise le volume.