Problèmes d'optimisation
Les exercices suivants portent sur l'utilisation de la dérivation pour résoudre des problèmes d'optimisation. N'hésitez pas à utiliser votre cours et à réfléchir avant de regarder les solutions.
Exercice 1 : Maximiser l'aire d'un rectangle
On dispose d'un fil de fer de 20 cm de longueur. On souhaite former un rectangle avec ce fil.
- Exprimer l'aire A du rectangle en fonction de sa largeur x.
- Quelle est la valeur de x pour laquelle l'aire du rectangle est maximale ?
- Quelle est cette aire maximale ?
Solution de l'exercice 1
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Soit x la largeur et y la longueur du rectangle.
Le périmètre est 20 cm, donc : 2x + 2y = 20
On en déduit : y = 10 - x
L'aire A est donc : A(x) = x(10-x) = 10x - x² -
A'(x) = 10 - 2x
A'(x) = 0 ⇔ 10 - 2x = 0 ⇔ x = 5
A''(x) = -2 < 0, donc x = 5 correspond à un maximum - L'aire maximale est : A(5) = 10 × 5 - 5² = 25 cm²
Exercice 2 : Minimiser le coût de fabrication
Une entreprise fabrique x objets par jour. Le coût de production C(x) en euros est donné par la fonction :
C(x) = 0.01x² - 2x + 200
- Calculer C'(x).
- Déterminer le nombre d'objets à produire pour minimiser le coût de production.
- Quel est ce coût minimal ?
Solution de l'exercice 2
- C'(x) = 0.02x - 2
-
C'(x) = 0 ⇔ 0.02x - 2 = 0 ⇔ x = 100
C''(x) = 0.02 > 0, donc x = 100 correspond à un minimum - Le coût minimal est : C(100) = 0.01 × 100² - 2 × 100 + 200 = 100 euros