Exercices sur les asymptotes
Voici une série d'exercices pour pratiquer la recherche d'asymptotes de fonctions. N'hésitez pas à utiliser le cours sur les asymptotes comme référence.
Exercice 1
Déterminez les asymptotes de la fonction \(f(x) = \frac{3x^2-2x+1}{x^2+1}\).
Solution :
1. Asymptote horizontale :
\(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{3x^2-2x+1}{x^2+1} = 3\)
Donc, la fonction admet une asymptote horizontale d'équation y = 3.
2. Asymptotes verticales : Le dénominateur ne s'annule jamais, donc il n'y a pas d'asymptote verticale.
3. Asymptote oblique : Comme le degré du numérateur est égal au degré du dénominateur, l'asymptote horizontale trouvée est la seule asymptote non verticale.
Exercice 2
Étudiez les asymptotes de la fonction \(g(x) = \frac{e^x}{x+1}\).
Solution :
1. Asymptote verticale :
Le dénominateur s'annule pour x = -1, donc il y a une asymptote verticale d'équation x = -1.
2. Asymptote horizontale :
\(\lim_{x \to -\infty} g(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{e^x}{x+1} = 0\)
Donc, la fonction admet une asymptote horizontale d'équation y = 0 en -∞.
3. Comportement en +∞ :
\(\lim_{x \to +\infty} g(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x+1} = +\infty\)
La fonction n'admet pas d'asymptote en +∞, elle tend vers +∞ plus rapidement que toute fonction affine.
Exercice 3
Trouvez les asymptotes de la fonction \(h(x) = \frac{x^3-1}{x^2-4}\).
Solution :
1. Asymptotes verticales :
Le dénominateur s'annule pour x = ±2, donc il y a deux asymptotes verticales d'équations x = 2 et x = -2.
2. Asymptote oblique :
Le degré du numérateur est supérieur d'une unité à celui du dénominateur, donc il y a une asymptote oblique.
Posons h(x) = ax + b + ε(x) avec \(\lim_{x \to \pm\infty} ε(x) = 0\)
a = \(\lim_{x \to \pm\infty} \frac{h(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3-1}{x(x^2-4)} = 1\)
b = \(\lim_{x \to \pm\infty} [h(x) - ax] = \lim_{x \to \pm\infty} [\frac{x^3-1}{x^2-4} - x] = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{4x-1}{x^2-4} = 0\)
Donc, la fonction admet une asymptote oblique d'équation y = x.
Exercice 4
Déterminez les asymptotes de la fonction \(f(x) = \frac{2x^2-3x+1}{x-2} + 3\).
Solution :
1. Asymptote verticale :
Le dénominateur s'annule pour x = 2, donc il y a une asymptote verticale d'équation x = 2.
2. Asymptote oblique :
Réécrivons la fonction : \(f(x) = \frac{2x^2-3x+1}{x-2} + 3 = \frac{2x^2-3x+1+3x-6}{x-2} = \frac{2x^2+1}{x-2}\)
Le degré du numérateur est supérieur d'une unité à celui du dénominateur, donc il y a une asymptote oblique.
a = \(\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x^2+1}{x(x-2)} = 2\)
b = \(\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - 2x] = \lim_{x \to \pm\infty} [\frac{2x^2+1}{x-2} - 2x] = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{4x+1}{x-2} = 4\)
Donc, la fonction admet une asymptote oblique d'équation y = 2x + 4.
Exercice 5
Étudiez les asymptotes de la fonction \(g(x) = \frac{\ln(x)}{x}\).
Solution :
1. Domaine de définition : ]0, +∞[
2. Asymptote verticale :
\(\lim_{x \to 0^+} g(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(x)}{x} = -\infty\)
Donc, l'axe des ordonnées (x = 0) est une asymptote verticale.
3. Comportement en +∞ :
Utilisons la règle de l'Hôpital : \(\lim_{x \to +\infty} g(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1/x}{1} = 0\)
Donc, la fonction admet une asymptote horizontale d'équation y = 0 en +∞.
Exercices supplémentaires
Pour plus de pratique, essayez de trouver les asymptotes des fonctions suivantes :
- \(f(x) = \frac{x^2-4x+3}{x-1}\)
- \(g(x) = \frac{e^x-1}{x}\)
- \(h(x) = x + \frac{1}{x}\) sur ]0, +∞[
- \(k(x) = \frac{\sqrt{x^2+1}}{x}\)