Exercices sur l'étude des fonctions (Première)

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Exercice 1 : Domaine de définition et parité

Soit la fonction \(f(x) = \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x}\).

  1. Déterminer le domaine de définition de f.
  2. Étudier la parité de f.

Solution :

  1. Domaine de définition :

    • Pour que la racine soit définie : \(x^2 - 1 \geq 0\) soit \(x \leq -1\) ou \(x \geq 1\)
    • Le dénominateur ne doit pas être nul : \(x \neq 0\)

    Donc le domaine de définition est : \(]-\infty, -1] \cup [1, +\infty[\)

  2. Étude de la parité :

    \(f(-x) = \frac{\sqrt{(-x)^2 - 1}}{-x} = -\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x} = -f(x)\)

    Donc f est une fonction impaire.

Exercice 2 : Sens de variation et extremum

Soit la fonction \(g(x) = x^3 - 3x^2 + 2\) définie sur \(\mathbb{R}\).

  1. Calculer la dérivée g'(x).
  2. Étudier le signe de g'(x) et en déduire les variations de g sur \(\mathbb{R}\).
  3. Déterminer les extremums de g s'ils existent.

Solution :

  1. Dérivée : \(g'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)\)

  2. Étude du signe de g'(x) :

    • g'(x) s'annule pour x = 0 et x = 2
    • g'(x) < 0 pour x ∈ ]0, 2[
    • g'(x) > 0 pour x ∈ ]-∞, 0[ ∪ ]2, +∞[

    Variations de g :

    • g est croissante sur ]-∞, 0]
    • g est décroissante sur [0, 2]
    • g est croissante sur [2, +∞[

  3. Extremums :

    • Maximum local en x = 0 : g(0) = 2
    • Minimum local en x = 2 : g(2) = -2

Exercice 3 : Étude complète d'une fonction

Soit la fonction \(h(x) = \frac{x^2}{x^2 + 1}\) définie sur \(\mathbb{R}\).

  1. Déterminer le domaine de définition de h.
  2. Étudier la parité de h.
  3. Calculer la dérivée h'(x) et étudier son signe.
  4. En déduire les variations de h sur \(\mathbb{R}\).
  5. Calculer les limites de h en +∞ et -∞.
  6. Tracer la courbe représentative de h.

Solution :

  1. Domaine de définition : \(\mathbb{R}\) (le dénominateur ne s'annule jamais)

  2. Parité : \(h(-x) = \frac{(-x)^2}{(-x)^2 + 1} = \frac{x^2}{x^2 + 1} = h(x)\)

    Donc h est une fonction paire.

  3. Dérivée : \(h'(x) = \frac{2x(x^2+1) - x^2(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{2x}{(x^2+1)^2}\)

    h'(x) est du signe de x sur \(\mathbb{R}\)

  4. Variations de h :

    • h est décroissante sur ]-∞, 0]
    • h est croissante sur [0, +∞[

  5. Limites :

    • \(\lim_{x \to +\infty} h(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{x^2 + 1} = 1\)
    • \(\lim_{x \to -\infty} h(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2}{x^2 + 1} = 1\)

  6. Courbe représentative :