Exercices sur la fonction cube

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Série d'exercices sur la fonction cube

Cette série d'exercices vous permettra de vous entraîner sur la fonction cube et ses propriétés. N'hésitez pas à utiliser le cours sur la fonction cube comme référence.

Exercice 1 : Calcul de valeurs

Calculez les valeurs suivantes :

  1. \(f(2)\) pour \(f(x) = x^3\)
  2. \(f(-3)\) pour \(f(x) = x^3\)
  3. \(g(1)\) pour \(g(x) = 2x^3 - 3\)
  4. \(h(-2)\) pour \(h(x) = -x^3 + 4x\)

Solution :

  1. \(f(2) = 2^3 = 8\)
  2. \(f(-3) = (-3)^3 = -27\)
  3. \(g(1) = 2(1)^3 - 3 = 2 - 3 = -1\)
  4. \(h(-2) = -(-2)^3 + 4(-2) = -(-8) + (-8) = 8 - 8 = 0\)

Exercice 2 : Résolution d'équations

Résolvez les équations suivantes :

  1. \(x^3 = 27\)
  2. \(x^3 = -8\)
  3. \(2x^3 - 16 = 0\)
  4. \(x^3 + 3x = 4\)

Solution :

  1. \(x^3 = 27 \Rightarrow x = \sqrt[3]{27} = 3\)
  2. \(x^3 = -8 \Rightarrow x = \sqrt[3]{-8} = -2\)
  3. \(2x^3 - 16 = 0 \Rightarrow 2x^3 = 16 \Rightarrow x^3 = 8 \Rightarrow x = 2\)
  4. \(x^3 + 3x = 4\) est une équation plus complexe. On peut la résoudre graphiquement ou en utilisant des méthodes numériques. Une solution approchée est \(x \approx 1.2599\).

Exercice 3 : Étude de variations

Étudiez les variations de la fonction \(f(x) = x^3 - 3x\) sur \(\mathbb{R}\). Déterminez les extremums locaux s'ils existent.

Solution :

Pour étudier les variations de \(f(x) = x^3 - 3x\), calculons sa dérivée :

\(f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)\)

Les racines de \(f'(x)\) sont \(x=-1\) et \(x=1\).

Tableau de variations :

x -∞ -1 1 +∞
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ Maximum local ↘ Minimum local ↗

Extremums locaux :

  • Maximum local en \(x=-1\) : \(f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2\)
  • Minimum local en \(x=1\) : \(f(1) = 1^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2\)

Exercice 4 : Symétrie et parité

Déterminez si les fonctions suivantes sont paires, impaires ou ni l'une ni l'autre :

  1. \(f(x) = x^3\)
  2. \(g(x) = x^3 + x\)
  3. \(h(x) = x^3 + 1\)
  4. \(k(x) = x^3 - x\)

Solution :

  1. \(f(x) = x^3\) est impaire car \(f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)\)
  2. \(g(x) = x^3 + x\) est impaire car \(g(-x) = (-x)^3 + (-x) = -x^3 - x = -(x^3 + x) = -g(x)\)
  3. \(h(x) = x^3 + 1\) n'est ni paire ni impaire car \(h(-x) = (-x)^3 + 1 = -x^3 + 1 \neq \pm h(x)\)
  4. \(k(x) = x^3 - x\) est impaire car \(k(-x) = (-x)^3 - (-x) = -x^3 + x = -(x^3 - x) = -k(x)\)

Exercice 5 : Application pratique

Un réservoir d'eau a la forme d'un cube. Le volume d'eau \(V\) (en m³) en fonction de la hauteur \(h\) (en m) est donné par la fonction \(V(h) = h^3\).

  1. Calculez le volume d'eau lorsque la hauteur est de 2 mètres.
  2. Déterminez la hauteur d'eau lorsque le volume est de 27 m³.
  3. Si on double la hauteur d'eau, par quel facteur le volume est-il multiplié ?

Solution :

  1. Pour \(h = 2\) m : \(V(2) = 2^3 = 8\) m³
  2. On cherche \(h\) tel que \(V(h) = 27\) : \[h^3 = 27 \Rightarrow h = \sqrt[3]{27} = 3\] m
  3. Si on double la hauteur, soit \(2h\) : \[V(2h) = (2h)^3 = 8h^3 = 8V(h)\] Le volume est donc multiplié par 8.