Exercices sur la fonction inverse

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Série d'exercices sur la fonction inverse

Cette série d'exercices vous permettra de vous entraîner sur les propriétés et les applications de la fonction inverse. N'hésitez pas à utiliser votre cours comme support.

Exercice 1 : Calcul de valeurs

Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\) par \(f(x) = \frac{1}{x}\).

  1. Calculez \(f(2)\).
  2. Calculez \(f(-3)\).
  3. Calculez \(f(\frac{1}{4})\).

Solution :

  1. \(f(2) = \frac{1}{2} = 0,5\)
  2. \(f(-3) = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3} \approx -0,333\)
  3. \(f(\frac{1}{4}) = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4\)

Exercice 2 : Résolution d'équations

Résolvez les équations suivantes :

  1. \(\frac{1}{x} = 5\)
  2. \(\frac{1}{x} = -2\)
  3. \(\frac{1}{x} + 3 = 0\)

Solution :

  1. \(\frac{1}{x} = 5 \Rightarrow x = \frac{1}{5} = 0,2\)
  2. \(\frac{1}{x} = -2 \Rightarrow x = -\frac{1}{2} = -0,5\)
  3. \(\frac{1}{x} + 3 = 0 \Rightarrow \frac{1}{x} = -3 \Rightarrow x = -\frac{1}{3}\)

Exercice 3 : Étude de signe

Étudiez le signe de la fonction \(f(x) = \frac{1}{x}\) sur \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\).

Solution :

Pour \(x > 0\), \(\frac{1}{x} > 0\)

Pour \(x < 0\), \(\frac{1}{x} < 0\)

Tableau de signe :

x -∞ 0 +∞
f(x) - | +

Exercice 4 : Limites

Calculez les limites suivantes :

  1. \(\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x}\)
  2. \(\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x}\)
  3. \(\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x}\)
  4. \(\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x}\)

Solution :

  1. \(\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0\)
  2. \(\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} = 0\)
  3. \(\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty\)
  4. \(\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty\)

Exercice 5 : Dérivée

Calculez la dérivée de la fonction \(f(x) = \frac{1}{x}\) et déterminez ses variations.

Solution :

La dérivée de \(f(x) = \frac{1}{x}\) est \(f'(x) = -\frac{1}{x^2}\).

Variations :

  • Pour \(x < 0\), \(f'(x) < 0\), donc \(f\) est strictement décroissante sur \(]-\infty, 0[\)
  • Pour \(x > 0\), \(f'(x) < 0\), donc \(f\) est strictement décroissante sur \(]0, +\infty[\)

Exercices supplémentaires

Pour plus d'entraînement, voici quelques exercices supplémentaires :

  1. Tracez la courbe représentative de la fonction \(g(x) = \frac{1}{x} + 2\).
  2. Résolvez l'inéquation \(\frac{1}{x} > 3\).
  3. Déterminez les asymptotes de la fonction \(h(x) = \frac{2}{x-1} + 3\).
  4. Étudiez la parité de la fonction inverse.
  5. Calculez l'aire entre la courbe de \(f(x) = \frac{1}{x}\) et l'axe des abscisses sur l'intervalle [1, 2].

N'hésitez pas à utiliser le forum d'entraide si vous avez des questions sur ces exercices !

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