Exercices sur les Fonctions de Référence (Première)

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Exercice 1 : Fonction affine

Difficulté : Facile

Soit la fonction affine \(f(x) = 2x - 3\).

  1. Déterminez le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine de cette fonction.
  2. Calculez \(f(0)\) et \(f(1)\).
  3. Tracez la représentation graphique de cette fonction.

Solution :

  1. Le coefficient directeur est 2 et l'ordonnée à l'origine est -3.
  2. \(f(0) = 2(0) - 3 = -3\) et \(f(1) = 2(1) - 3 = -1\)
  3. Voici la représentation graphique :

Exercice 2 : Fonction carrée

Difficulté : Moyenne

Considérons la fonction \(g(x) = x^2 - 4x + 3\).

  1. Déterminez les coordonnées du sommet de la parabole.
  2. Calculez les coordonnées des points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses.
  3. Esquissez la courbe représentative de cette fonction.

Solution :

  1. Le sommet a pour coordonnées \((\frac{4}{2}, g(\frac{4}{2})) = (2, -1)\)
  2. Les points d'intersection sont (1, 0) et (3, 0)
  3. Voici l'esquisse de la courbe :

Exercice 3 : Fonction inverse

Difficulté : Moyenne

Soit la fonction \(h(x) = \frac{2}{x} + 1\) définie sur \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\).

  1. Déterminez l'ensemble de définition de h.
  2. Calculez les coordonnées des points d'intersection de la courbe avec les axes.
  3. Déterminez les équations des asymptotes.
  4. Tracez la courbe représentative de h.

Solution :

  1. L'ensemble de définition est \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\)
  2. Intersection avec l'axe des ordonnées : pas de point. Avec l'axe des abscisses : (-2, 0) et (2, 0)
  3. Asymptote verticale : x = 0, asymptote horizontale : y = 1
  4. Voici la courbe représentative :

Exercice 4 : Fonction racine carrée

Difficulté : Difficile

Étudions la fonction \(f(x) = \sqrt{x+1} - 1\).

  1. Déterminez le domaine de définition de f.
  2. Calculez \(f(0)\) et \(f(3)\).
  3. Déterminez l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 3.
  4. Tracez la courbe représentative de f.

Solution :

  1. Le domaine de définition est \([1; +\infty[\)
  2. \(f(0) = 0\) et \(f(3) = 1\)
  3. La dérivée de f est \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+1}}\). En x=3, \(f'(3) = \frac{1}{4}\). L'équation de la tangente est donc \(y = \frac{1}{4}(x-3) + 1\)
  4. Voici la courbe représentative :