Exercices sur les Logarithmes

Niveau : Première

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Exercice 1 : Calcul de logarithmes simples

Calculez les logarithmes suivants :

  1. ln(e)
  2. ln(e3)
  3. ln(1)
  4. ln(e-2)
  1. ln(e) = 1
  2. ln(e3) = 3
  3. ln(1) = 0
  4. ln(e-2) = -2

Exercice 2 : Propriétés des logarithmes

Simplifiez les expressions suivantes :

  1. ln(ab) - ln(a) + ln(c)
  2. ln(x3) + 2ln(y) - ln(z2)
  3. ln(√x) + ln(x2)
  1. ln(ab) - ln(a) + ln(c) = ln(b) + ln(c) = ln(bc)
  2. ln(x3) + 2ln(y) - ln(z2) = 3ln(x) + 2ln(y) - 2ln(z) = ln(x3y2/z2)
  3. ln(√x) + ln(x2) = 1/2ln(x) + 2ln(x) = 5/2ln(x) = ln(x5/2)

Exercice 3 : Équations logarithmiques

Résolvez les équations suivantes :

  1. ln(x) = 2
  2. ln(x2 - 1) = 0
  3. 2ln(x) - ln(x + 1) = ln(4)
  1. ln(x) = 2 ⇔ x = e2
  2. ln(x2 - 1) = 0 ⇔ x2 - 1 = 1 ⇔ x2 = 2 ⇔ x = ±√2
  3. 2ln(x) - ln(x + 1) = ln(4)
    ⇔ ln(x2) - ln(x + 1) = ln(4)
    ⇔ ln(x2/(x + 1)) = ln(4)
    ⇔ x2/(x + 1) = 4
    ⇔ x2 = 4x + 4
    ⇔ x2 - 4x - 4 = 0
    ⇔ (x - 2)2 = 8
    ⇔ x = 2 ± √8 = 2 ± 2√2
    La solution x = 2 - 2√2 est à rejeter car x + 1 doit être strictement positif.
    Donc la seule solution est x = 2 + 2√2.

Exercice 4 : Application à la résolution de problèmes

La population d'une ville double tous les 10 ans. Si la population initiale est de 50 000 habitants, au bout de combien d'années la population atteindra-t-elle 200 000 habitants ?

Soit t le nombre d'années recherché. On peut modéliser la situation par l'équation :

50000 * 2t/10 = 200000

En prenant le logarithme des deux côtés :

ln(50000) + (t/10)ln(2) = ln(200000)

Résolvons pour t :

(t/10)ln(2) = ln(200000) - ln(50000) = ln(4)
t = 10 * ln(4) / ln(2) ≈ 20 ans

La population atteindra 200 000 habitants au bout d'environ 20 ans.