Exercices sur les applications des logarithmes

Série d'exercices

Exercice 1: Résolution d'équation exponentielle

Résoudre l'équation suivante :

\[ 3^{2x-1} = 27 \]

Solution :

Appliquons le logarithme népérien des deux côtés de l'équation :

\[ \ln(3^{2x-1}) = \ln(27) \] \[ (2x-1)\ln(3) = \ln(27) \] \[ 2x-1 = \frac{\ln(27)}{\ln(3)} = 3 \] \[ 2x = 4 \] \[ x = 2 \]

La solution est donc x = 2.

Exercice 2: Linéarisation de relation

Linéariser la relation suivante :

\[ y = 5x^{2.5} \]

Solution :

Pour linéariser cette relation, nous prenons le logarithme des deux côtés :

\[ \ln(y) = \ln(5x^{2.5}) \] \[ \ln(y) = \ln(5) + \ln(x^{2.5}) \] \[ \ln(y) = \ln(5) + 2.5\ln(x) \]

La relation linéarisée est donc de la forme Y = mX + b, avec :

  • Y = ln(y)
  • X = ln(x)
  • m = 2.5
  • b = ln(5)

Exercice 3: Échelle logarithmique

Un tremblement de terre a une magnitude de 6,5 sur l'échelle de Richter. Sachant que l'échelle de Richter est logarithmique en base 10 et qu'une augmentation d'un point correspond à une multiplication par 10 de l'amplitude des ondes sismiques, calculez le rapport d'amplitude entre ce séisme et un séisme de magnitude 4,5.

Solution :

La différence de magnitude est : 6,5 - 4,5 = 2

Comme chaque point correspond à une multiplication par 10, et que nous avons 2 points de différence, le rapport d'amplitude sera :

\[ 10^2 = 100 \]

Le séisme de magnitude 6,5 a donc une amplitude 100 fois plus grande que celui de magnitude 4,5.

Exercice 4: Croissance exponentielle

Une population de bactéries double toutes les 3 heures. Si on commence avec 1000 bactéries, combien y en aura-t-il après 24 heures ?

Solution :

En 24 heures, la population doublera 24/3 = 8 fois.

Nous pouvons exprimer cela comme :

\[ 1000 \times 2^8 = 1000 \times 256 = 256000 \]

Après 24 heures, il y aura donc 256000 bactéries.