Exercice 1 : Optimisation d'une boîte
Niveau : Intermédiaire
On souhaite fabriquer une boîte sans couvercle à partir d'une feuille de carton rectangulaire de dimensions 30 cm sur 40 cm. Pour cela, on découpe des carrés identiques aux quatre coins de la feuille, puis on replie les bords.
Soit x la longueur du côté des carrés découpés (en cm).
- Exprimez le volume V de la boîte en fonction de x.
- Déterminez le domaine de définition de la fonction V.
- Quelle valeur de x permet d'obtenir le volume maximal ?
Indice : Pensez à exprimer la longueur, la largeur et la hauteur de la boîte en fonction de x avant de calculer le volume.
Exercice 2 : Modélisation d'une population de bactéries
Niveau : Avancé
Dans une boîte de Petri, une population de bactéries évolue selon le modèle suivant :
N(t) = 1000 / (1 + 9e-0,5t)
où N(t) représente le nombre de bactéries au temps t (en heures).
- Calculez le nombre initial de bactéries (à t = 0).
- Déterminez la limite de N(t) quand t tend vers l'infini. Que représente cette valeur ?
- Au bout de combien de temps la population aura-t-elle doublé par rapport à l'instant initial ?
Indice : Pour la question 3, vous devrez résoudre une équation de la forme N(t) = 2N(0).
Exercice 3 : Étude d'un coût de production
Niveau : Intermédiaire
Une entreprise produit des objets dont le coût total de production (en euros) pour x objets est donné par la fonction :
C(x) = 0,5x² + 200x + 10000
- Calculez le coût moyen de production en fonction de x.
- Déterminez le nombre d'objets à produire pour minimiser le coût moyen.
- L'entreprise vend chaque objet 500€. À partir de combien d'objets vendus l'entreprise réalise-t-elle un bénéfice ?
Indice : Le coût moyen est le coût total divisé par le nombre d'objets produits. Pour la question 3, comparez le coût total à la recette.