Calculez la distance entre les points A(3, 4) et B(-1, 7).
Utilisons la formule de distance : \(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\)
\(d = \sqrt{(-1-3)^2 + (7-4)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\)
La distance entre A et B est donc 5 unités.
Trouvez les coordonnées du milieu M du segment [CD] avec C(2, -3) et D(6, 5).
Les coordonnées du milieu sont données par :
\(x_M = \frac{x_C + x_D}{2}\) et \(y_M = \frac{y_C + y_D}{2}\)
\(x_M = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4\)
\(y_M = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1\)
Les coordonnées du milieu M sont donc (4, 1).
Déterminez l'équation de la droite passant par les points E(1, 2) et F(4, -1).
1. Calculons d'abord la pente m :
\(m = \frac{y_F - y_E}{x_F - x_E} = \frac{-1 - 2}{4 - 1} = \frac{-3}{3} = -1\)
2. Utilisons l'équation y = mx + b et le point E(1, 2) pour trouver b :
2 = -1(1) + b
2 = -1 + b
b = 3
3. L'équation de la droite est donc :
y = -x + 3
Soit \(\vec{u}\) le vecteur de coordonnées (3, -2) et \(\vec{v}\) le vecteur de coordonnées (-1, 5). Calculez les coordonnées du vecteur \(\vec{w} = 2\vec{u} - \vec{v}\).
1. Calculons 2\(\vec{u}\) :
2\(\vec{u}\) = 2(3, -2) = (6, -4)
2. Soustrayons \(\vec{v}\) :
\(\vec{w}\) = (6, -4) - (-1, 5) = (6-(-1), -4-5) = (7, -9)
Les coordonnées du vecteur \(\vec{w}\) sont donc (7, -9).
Calculez l'aire du triangle ABC avec A(0, 0), B(4, 1) et C(2, 5).
Nous pouvons utiliser la formule de l'aire d'un triangle à partir des coordonnées de ses sommets :
\(Aire = \frac{1}{2}|x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)|\)
En substituant les valeurs :
\(Aire = \frac{1}{2}|0(1 - 5) + 4(5 - 0) + 2(0 - 1)|\)
\(Aire = \frac{1}{2}|0 + 20 - 2|\)
\(Aire = \frac{1}{2}|18| = 9\)
L'aire du triangle ABC est donc 9 unités carrées.