Série d'exercices sur le Produit Scalaire
Cette page contient une série d'exercices pour vous entraîner sur le produit scalaire. Les exercices sont classés par difficulté croissante. N'hésitez pas à utiliser votre cours pour vous aider !
Exercice 1 : Calcul direct
Soient \(\vec{u}(2, 3)\) et \(\vec{v}(-1, 4)\). Calculez le produit scalaire \(\vec{u} \cdot \vec{v}\).
Solution :
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \times (-1) + 3 \times 4 = -2 + 12 = 10 \]Exercice 2 : Orthogonalité
Déterminez si les vecteurs \(\vec{a}(4, -3)\) et \(\vec{b}(6, 8)\) sont orthogonaux.
Solution :
Deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul. Calculons :
\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \times 6 + (-3) \times 8 = 24 - 24 = 0 \]Le produit scalaire est nul, donc les vecteurs \(\vec{a}\) et \(\vec{b}\) sont orthogonaux.
Exercice 3 : Angle entre deux vecteurs
Calculez l'angle entre les vecteurs \(\vec{p}(1, \sqrt{3})\) et \(\vec{q}(\sqrt{3}, -1)\).
Solution :
Utilisons la formule : \(\cos(\theta) = \frac{\vec{p} \cdot \vec{q}}{\|\vec{p}\| \|\vec{q}\|}\)
1) Calculons le produit scalaire :
\[ \vec{p} \cdot \vec{q} = 1 \times \sqrt{3} + \sqrt{3} \times (-1) = 0 \]2) Calculons les normes :
\[ \|\vec{p}\| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2 \] \[ \|\vec{q}\| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{4} = 2 \]3) Appliquons la formule :
\[ \cos(\theta) = \frac{0}{2 \times 2} = 0 \]4) Donc :
\[ \theta = \arccos(0) = \frac{\pi}{2} \]L'angle entre \(\vec{p}\) et \(\vec{q}\) est de 90° ou \(\frac{\pi}{2}\) radians.
Le schéma ci-dessus illustre l'exercice 3, montrant les vecteurs \(\vec{p}\) (en rouge) et \(\vec{q}\) (en bleu) formant un angle droit.
Exercices supplémentaires
Pour plus d'entraînement, essayez ces exercices :
- Calculez la projection de \(\vec{u}(3, 4)\) sur \(\vec{v}(1, 1)\).
- Déterminez si le triangle ABC est rectangle en A, sachant que AB(3, -1) et AC(2, 5).
- Trouvez l'équation de la droite passant par le point M(2, 3) et perpendiculaire au vecteur \(\vec{n}(4, -1)\).