MathUp - Exercices sur l'Orthogonalité et les Projections

Exercice 1

Facile

Soient les vecteurs \(\vec{u} = (3, 4)\) et \(\vec{v} = (-4, 3)\). Montrez que ces vecteurs sont orthogonaux.

Pour montrer que les vecteurs sont orthogonaux, nous devons calculer leur produit scalaire et vérifier s'il est égal à zéro.

\begin{align*} \vec{u} \cdot \vec{v} &= 3 \times (-4) + 4 \times 3 \\ &= -12 + 12 \\ &= 0 \end{align*}

Le produit scalaire est égal à zéro, donc les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont orthogonaux.

Exercice 2

Moyen

Soit le vecteur \(\vec{u} = (2, 3)\). Trouvez un vecteur \(\vec{v}\) qui lui est orthogonal.

Pour trouver un vecteur orthogonal à \(\vec{u}\), nous pouvons utiliser la propriété suivante : si \(\vec{u} = (a, b)\), alors \(\vec{v} = (-b, a)\) lui est orthogonal.

Donc, pour \(\vec{u} = (2, 3)\), un vecteur orthogonal est :

\[\vec{v} = (-3, 2)\]

Vérifions que le produit scalaire est bien nul :

\begin{align*} \vec{u} \cdot \vec{v} &= 2 \times (-3) + 3 \times 2 \\ &= -6 + 6 \\ &= 0 \end{align*}

Le produit scalaire est bien égal à zéro, confirmant que \(\vec{v}\) est orthogonal à \(\vec{u}\).

Exercice 3

Difficile

Soit le vecteur \(\vec{u} = (1, 2, 3)\) dans l'espace. Calculez sa projection orthogonale sur le vecteur \(\vec{v} = (2, -1, 2)\).

Pour calculer la projection orthogonale de \(\vec{u}\) sur \(\vec{v}\), nous utilisons la formule :

\[\text{proj}_{\vec{v}}(\vec{u}) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{v}\|^2} \vec{v}\]

Calculons d'abord le produit scalaire \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) :

\begin{align*} \vec{u} \cdot \vec{v} &= 1 \times 2 + 2 \times (-1) + 3 \times 2 \\ &= 2 - 2 + 6 \\ &= 6 \end{align*}

Ensuite, calculons \(\|\vec{v}\|^2\) :

\begin{align*} \|\vec{v}\|^2 &= 2^2 + (-1)^2 + 2^2 \\ &= 4 + 1 + 4 \\ &= 9 \end{align*}

Maintenant, nous pouvons calculer la projection :

\begin{align*} \text{proj}_{\vec{v}}(\vec{u}) &= \frac{6}{9} \vec{v} \\ &= \frac{2}{3} (2, -1, 2) \\ &= (\frac{4}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{4}{3}) \end{align*}

Donc, la projection orthogonale de \(\vec{u}\) sur \(\vec{v}\) est le vecteur \((\frac{4}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{4}{3})\).