Soit un triangle ABC tel que A(0, 0), B(3, 1) et C(1, 4). Appliquez à ce triangle une translation de vecteur \(\vec{u}(2, -1)\).
a) Les nouvelles coordonnées sont :
b) Le graphique ci-dessus montre le triangle ABC en bleu et son image A'B'C' en rouge.
Soit un triangle DEF tel que D(1, 1), E(4, 1) et F(2, 4). Appliquez à ce triangle une rotation de centre O(0, 0) et d'angle 90° dans le sens anti-horaire.
a) Pour une rotation de 90° autour de O(0, 0), on utilise la formule : (x, y) → (-y, x)
b) Le triangle DEF et son image D'E'F' sont congruents (mêmes angles, mêmes longueurs de côtés). La rotation préserve les distances et les angles.
Soit un rectangle ABCD tel que A(-2, 1), B(2, 1), C(2, -1) et D(-2, -1). Appliquez à ce rectangle une symétrie axiale par rapport à l'axe des ordonnées (axe y).
a) Pour une symétrie par rapport à l'axe y, on change le signe de la coordonnée x : (x, y) → (-x, y)
b) La figure formée par ABCD et A'B'C'D' est un rectangle. Les deux rectangles sont symétriques par rapport à l'axe y et forment ensemble un rectangle plus grand.
Soit un triangle PQR tel que P(1, 1), Q(4, 1) et R(2, 4). Appliquez à ce triangle une homothétie de centre O(0, 0) et de rapport k = 2.
a) Pour une homothétie de rapport k et de centre O(0, 0), on multiplie les coordonnées par k : (x, y) → (kx, ky)
b) Aire de PQR : (1/2) × 3 × 3 = 4.5 unités carrées
Aire de P'Q'R' : (1/2) × 6 × 6 = 18 unités carrées
Rapport des aires : 18 / 4.5 = 4 = k²
c) Démonstration :
Soit un triangle ABC et son image A'B'C' par une homothétie de rapport k.
Aire de ABC = (1/2) × base × hauteur
Aire de A'B'C' = (1/2) × (k × base) × (k × hauteur) = k² × (1/2) × base × hauteur = k² × Aire de ABC
Donc, pour toute homothétie de rapport k, le rapport des aires est toujours k².