Continuons avec des exercices plus complexes sur les équations impliquant des valeurs absolues. N'hésitez pas à utiliser les méthodes vues précédemment.
Rappelez-vous que pour résoudre une équation avec valeur absolue, il faut souvent considérer plusieurs cas. La valeur absolue d'une expression peut être positive ou négative, ce qui conduit généralement à deux équations distinctes à résoudre.
Résolvez l'équation suivante :
Pour résoudre cette équation, nous devons considérer quatre cas :
Cas 1 : (2x + 1) + (x - 3) = 5
3x - 2 = 5
3x = 7
x = 7/3
Cas 2 : (2x + 1) - (x - 3) = 5
x + 4 = 5
x = 1
Cas 3 : -(2x + 1) + (x - 3) = 5
-x - 4 = 5
-x = 9
x = -9
Cas 4 : -(2x + 1) - (x - 3) = 5
-3x + 2 = 5
-3x = 3
x = -1
Vérifions maintenant quelles solutions satisfont l'équation originale :
Pour x = 7/3 : |2(7/3) + 1| + |(7/3) - 3| = |5 + 1| + |-2/3| = 6 + 2/3 ≠ 5
Pour x = 1 : |2(1) + 1| + |1 - 3| = |3| + |-2| = 3 + 2 = 5 (solution valide)
Pour x = -9 et x = -1, les valeurs sont trop grandes pour satisfaire l'équation.
La seule solution est donc x = 1.
Résolvez l'équation suivante :
Résolvons cette équation pas à pas :
1) D'abord, considérons les deux cas pour la valeur absolue extérieure :
Cas 1 : |x + 1| - 3 = 2
|x + 1| = 5
Cas 2 : |x + 1| - 3 = -2
|x + 1| = 1
2) Maintenant, résolvons chaque cas :
Pour |x + 1| = 5 :
x + 1 = 5 ou x + 1 = -5
x = 4 ou x = -6
Pour |x + 1| = 1 :
x + 1 = 1 ou x + 1 = -1
x = 0 ou x = -2
Les solutions sont donc x = 4, x = -6, x = 0, et x = -2.
Résolvez l'équation suivante :
Résolvons cette équation en considérant deux cas :
Cas 1 : x^2 - 4 = x + 2
x^2 - x - 6 = 0
(x - 3)(x + 2) = 0
x = 3 ou x = -2
Cas 2 : x^2 - 4 = -(x + 2)
x^2 + x - 2 = 0
(x + 2)(x - 1) = 0
x = -2 ou x = 1
Vérifions ces solutions dans l'équation originale :
Pour x = 3 : |3^2 - 4| = |5| = 5 = 3 + 2 (valide)
Pour x = -2 : |(-2)^2 - 4| = |0| = 0 ≠ -2 + 2 (non valide)
Pour x = 1 : |1^2 - 4| = |-3| = 3 = 1 + 2 (valide)
Les solutions sont donc x = 3 et x = 1.