Exercices sur les Projetés Orthogonaux - Classe de Seconde

Exercice 1

Facile

Soit un triangle ABC rectangle en A. Le point H est le pied de la hauteur issue de A sur l'hypoténuse [BC]. Montrez que AH est la projection orthogonale de A sur (BC).

Démonstration :

  1. Dans le triangle ABC, AH est une hauteur, donc AH ⊥ BC par définition.
  2. H est un point de la droite (BC).
  3. Par définition de la projection orthogonale, AH est bien la projection orthogonale de A sur (BC).

Exercice 2

Moyen

Dans un repère orthonormé (O, I, J), on donne les points A(1, 2) et B(4, 5). Calculez les coordonnées du projeté orthogonal H du point M(3, 1) sur la droite (AB).

Résolution :

  1. Vecteur directeur de (AB) : \(\vec{AB} = (3, 3)\)
  2. Vecteur AM : \(\vec{AM} = (2, -1)\)
  3. Projeté H : \(H = A + \frac{\vec{AM} \cdot \vec{AB}}{\|\vec{AB}\|^2} \vec{AB}\)
  4. Calcul : \(H = (1, 2) + \frac{3}{18} (3, 3) = (1.5, 2.5)\)

Les coordonnées de H sont donc (1.5, 2.5).

Exercice 3

Difficile

Soit un triangle ABC. M est un point quelconque du plan. H, K et L sont respectivement les projetés orthogonaux de M sur (BC), (CA) et (AB). Démontrez que les droites (AH), (BK) et (CL) sont concourantes.

Démonstration :

  1. Considérons les aires des triangles MBC, MCA et MAB.
  2. L'aire de MBC peut s'exprimer de deux façons : \(S_{MBC} = \frac{1}{2}BC \cdot MH = \frac{1}{2}MC \cdot BH = \frac{1}{2}MB \cdot CH\)
  3. De même pour MCA et MAB.
  4. On en déduit : \(\frac{AH}{BC} = \frac{BK}{CA} = \frac{CL}{AB}\)
  5. Cette égalité caractérise le théorème de Céva, qui affirme que les droites (AH), (BK) et (CL) sont concourantes.

Démonstration Interactive

Déplacez le point M pour voir comment les projections orthogonales changent. Observez que les droites (AH), (BK) et (CL) se coupent toujours en un point.