Soit un échantillon de taille n = 5 avec les valeurs suivantes : 2, 4, 6, 8, 10.
1. L'estimateur de la moyenne échantillonnale est :
X̄ = (1/n) Σ Xᵢ = (2 + 4 + 6 + 8 + 10) / 5 = 30 / 5 = 6
2. Cet estimateur n'est pas biaisé car E[X̄] = μ, où μ est la vraie moyenne de la population. La moyenne échantillonnale est un estimateur sans biais de la moyenne de la population.
Utilisez le même échantillon que dans l'exercice 1 : 2, 4, 6, 8, 10.
1. L'estimateur de la variance échantillonnale non biaisée est :
S² = (1/(n-1)) Σ (Xᵢ - X̄)²
Calcul : S² = [(2-6)² + (4-6)² + (6-6)² + (8-6)² + (10-6)²] / 4 = (16 + 4 + 0 + 4 + 16) / 4 = 40 / 4 = 10
2. On utilise (n-1) au dénominateur pour obtenir un estimateur non biaisé de la variance de la population. Cela compense le fait que nous utilisons la moyenne échantillonnale (qui est elle-même une estimation) dans le calcul de la variance.
Considérez l'estimateur suivant pour la moyenne d'une population : T = (X₁ + 2X₂) / 3, où X₁ et X₂ sont deux observations indépendantes de la même distribution avec moyenne μ et variance σ².
1. Pour vérifier si l'estimateur est sans biais, calculons son espérance :
E[T] = E[(X₁ + 2X₂) / 3] = (E[X₁] + 2E[X₂]) / 3 = (μ + 2μ) / 3 = μ
Donc, l'estimateur T est sans biais car son espérance est égale à μ.
2. La variance de T est :
Var(T) = Var((X₁ + 2X₂) / 3) = (Var(X₁) + 4Var(X₂)) / 9 = (σ² + 4σ²) / 9 = 5σ² / 9
3. La variance de la moyenne échantillonnale standard pour n=2 est :
Var(X̄) = σ² / 2
Comparaison : 5σ² / 9 < σ² / 2, donc l'estimateur T a une variance plus faible et est plus efficace que la moyenne échantillonnale standard pour n=2.
Pour plus de pratique, essayez ces exercices :
Revoir le cours sur les estimateurs