Énoncé de l'exercice
Soit la suite récurrente définie par :
u(n+1) = \frac{1}{2}(u(n) + \frac{3}{u(n)}) \quad \text{pour} \quad n \geq 0
avec \(u(0) = 2\)
- Calculez les 5 premiers termes de la suite.
- Montrez que la suite est décroissante et minorée par \(\sqrt{3}\).
- Démontrez que la suite converge et déterminez sa limite.
Indications
- Pour la question 2, étudiez le signe de \(u(n+1) - u(n)\).
- Pour la question 3, utilisez le théorème de convergence des suites monotones.
Solution
1. Calcul des 5 premiers termes
u(0) = 2
u(1) = 1/2 * (2 + 3/2) = 1.75
u(2) ≈ 1.7321
u(3) ≈ 1.7321
u(4) ≈ 1.7321
2. Démonstration de la décroissance et de la minoration
Pour montrer que la suite est décroissante, on étudie le signe de u(n+1) - u(n) :
u(n+1) - u(n) = \frac{1}{2}(u(n) + \frac{3}{u(n)}) - u(n) = \frac{3 - u(n)^2}{2u(n)}
Ce terme est négatif si et seulement si \(u(n) > \sqrt{3}\), ce qui est vrai pour u(0) = 2 et se propage par récurrence.
La suite est donc décroissante et minorée par \(\sqrt{3}\).
3. Convergence et limite
La suite étant décroissante et minorée, elle converge vers une limite L. Cette limite vérifie :
L = \frac{1}{2}(L + \frac{3}{L})
En résolvant cette équation, on trouve L = \(\sqrt{3}\).