Exercices sur les Suites Définies par Récurrence

Spécialité Mathématiques - Lycée

Cette page propose une série d'exercices sur les suites définies par récurrence. Ces exercices vous aideront à maîtriser les concepts clés et à développer vos compétences en résolution de problèmes.

Exercice 1

Difficulté : Moyenne

Soit la suite (u_n) définie pour tout entier naturel n par :

u_0 = 2 et pour tout n ≥ 0, u_{n+1} = \frac{1}{2}(u_n + \frac{3}{u_n})

  1. Calculez les quatre premiers termes de la suite.
  2. Démontrez par récurrence que pour tout n ≥ 0, u_n ≥ \sqrt{3}.
  3. Démontrez que la suite est décroissante.

Solution :

  1. u_0 = 2

    u_1 = \frac{1}{2}(2 + \frac{3}{2}) = \frac{7}{4} = 1,75

    u_2 = \frac{1}{2}(\frac{7}{4} + \frac{3}{\frac{7}{4}}) = \frac{73}{56} ≈ 1,7321

    u_3 = \frac{1}{2}(\frac{73}{56} + \frac{3}{\frac{73}{56}}) ≈ 1,7321

  2. Démonstration par récurrence :

    - Initialisation : u_0 = 2 > \sqrt{3}, donc la propriété est vraie pour n = 0.

    - Hérédité : Supposons la propriété vraie pour un certain n, c'est-à-dire u_n ≥ \sqrt{3}.

    Alors, u_{n+1} = \frac{1}{2}(u_n + \frac{3}{u_n}) ≥ \frac{1}{2}(\sqrt{3} + \frac{3}{\sqrt{3}}) = \sqrt{3}

    Donc la propriété est héréditaire.

    Conclusion : Par le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout n ≥ 0.

  3. Pour montrer que la suite est décroissante, on peut prouver que u_{n+1} ≤ u_n pour tout n ≥ 0.

    u_{n+1} - u_n = \frac{1}{2}(u_n + \frac{3}{u_n}) - u_n = \frac{1}{2}(\frac{3}{u_n} - u_n) = \frac{3 - u_n^2}{2u_n}

    Or, u_n ≥ \sqrt{3}, donc u_n^2 ≥ 3, ce qui implique que u_{n+1} - u_n ≤ 0.

    Donc la suite est décroissante.

Exercice 2

Difficulté : Élevée

Soit la suite (v_n) définie pour tout entier naturel n par :

v_0 = 1 et pour tout n ≥ 0, v_{n+1} = \sqrt{2 + v_n}

  1. Calculez les trois premiers termes de la suite.
  2. Démontrez par récurrence que pour tout n ≥ 0, v_n ≤ 2.
  3. Démontrez que la suite est croissante.
  4. Que peut-on conclure sur la convergence de cette suite ?

Solution :

  1. v_0 = 1

    v_1 = \sqrt{2 + 1} = \sqrt{3} ≈ 1,732

    v_2 = \sqrt{2 + \sqrt{3}} ≈ 1,932

  2. Démonstration par récurrence :

    - Initialisation : v_0 = 1 < 2, donc la propriété est vraie pour n = 0.

    - Hérédité : Supposons la propriété vraie pour un certain n, c'est-à-dire v_n ≤ 2.

    Alors, v_{n+1} = \sqrt{2 + v_n} ≤ \sqrt{2 + 2} = 2

    Donc la propriété est héréditaire.

    Conclusion : Par le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout n ≥ 0.

  3. Pour montrer que la suite est croissante, on peut prouver que v_{n+1} ≥ v_n pour tout n ≥ 0.

    v_{n+1}^2 = 2 + v_n ≥ v_n^2 (car v_n ≤ 2)

    Donc v_{n+1} ≥ v_n, et la suite est croissante.

  4. La suite (v_n) est croissante et majorée par 2. D'après le théorème de la limite monotone, elle converge vers une limite l.

    Cette limite vérifie l'équation : l = \sqrt{2 + l}

    En résolvant cette équation, on trouve l = 2.

    Donc la suite converge vers 2.