Exercice : Positions relatives de deux droites dans l'espace
Soient deux droites D1 et D2 définies par leurs équations paramétriques :
D1 : \( \begin{cases} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = 3 + 2t \end{cases} \)
D2 : \( \begin{cases} x = 1 + 2s \\ y = 2 + s \\ z = -1 + 3s \end{cases} \)
Déterminez la position relative de ces deux droites (sécantes, parallèles ou gauches).
Indice : Pour déterminer la position relative des droites, vous pouvez :
- Calculer les vecteurs directeurs de chaque droite.
- Vérifier si ces vecteurs sont colinéaires (parallèles ou confondues).
- Si non colinéaires, chercher un point d'intersection en résolvant un système d'équations.
Solution :
- Vecteurs directeurs :
- D1 : \(\vec{u_1} = (1, -1, 2)\)
- D2 : \(\vec{u_2} = (2, 1, 3)\)
- Ces vecteurs ne sont pas colinéaires car \(\frac{1}{2} \neq \frac{-1}{1} \neq \frac{2}{3}\)
- Résolvons le système :
\[ \begin{cases} 2 + t = 1 + 2s \\ 1 - t = 2 + s \\ 3 + 2t = -1 + 3s \end{cases} \]
- En soustrayant la deuxième équation de la première :
\[ 1 + 2t = -1 + s \]
\[ 2 + 2t = s \]
- Substituons dans la troisième équation :
\[ 3 + 2t = -1 + 3(2 + 2t) \]
\[ 3 + 2t = -1 + 6 + 6t \]
\[ 4 = 4t \]
\[ t = 1 \]
- Donc s = 4, et le point d'intersection est (3, 0, 5)
Conclusion : Les droites sont sécantes et se coupent au point (3, 0, 5).