Exercice sur la Loi Binomiale - Terminale

Accueil > Exercices > Lycée > Terminale > Probabilités > Loi Binomiale

Exercice : Loi Binomiale dans un Contexte de Contrôle Qualité

Une usine produit des composants électroniques. Le processus de fabrication est tel que chaque composant a une probabilité de 0,05 d'être défectueux, indépendamment des autres.

On prélève au hasard un échantillon de 100 composants pour un contrôle qualité.

Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre de composants défectueux dans cet échantillon.

Questions :

  1. Quelle est la loi suivie par X ? Précisez ses paramètres.
  2. Calculez P(X = 3), la probabilité d'avoir exactement 3 composants défectueux dans l'échantillon.
  3. Calculez P(X ≤ 2), la probabilité d'avoir au plus 2 composants défectueux dans l'échantillon.
  4. Déterminez l'espérance et l'écart-type de X.

Solution :

  1. X suit une loi binomiale de paramètres n = 100 et p = 0,05.

    On note : X ~ B(100, 0,05)

  2. P(X = 3) = C(100,3) * 0,053 * 0,9597

    P(X = 3) ≈ 0,1323 soit environ 13,23%

  3. P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

    P(X ≤ 2) ≈ 0,0821 soit environ 8,21%

  4. Espérance : E(X) = n * p = 100 * 0,05 = 5

    Variance : V(X) = n * p * (1-p) = 100 * 0,05 * 0,95 = 4,75

    Écart-type : σ(X) = √V(X) ≈ 2,18

Calculateur de probabilité binomiale

n: p: k: