On considère le temps d'attente à un feu de circulation. On suppose que ce temps suit une loi uniforme continue sur l'intervalle [0, 60] secondes.
Quelle est la densité de probabilité de cette loi uniforme ?
Rappelez-vous que pour une loi uniforme sur [a, b], la densité est constante et égale à 1/(b-a) sur cet intervalle.
La densité de probabilité f(x) est donnée par :
f(x) = 1/60 pour x ∈ [0, 60]
f(x) = 0 ailleurs
Quelle est la probabilité d'attendre moins de 20 secondes ?
Utilisez la propriété de la loi uniforme : P(a ≤ X ≤ b) = (b - a) / (max - min)
P(X ≤ 20) = (20 - 0) / (60 - 0) = 20/60 = 1/3
La probabilité d'attendre moins de 20 secondes est donc 1/3, soit environ 0,333 ou 33,3%.
Calculez l'espérance et la variance de cette loi uniforme.
Pour une loi uniforme sur [a, b] :
Espérance : E(X) = (a + b) / 2
Variance : V(X) = (b - a)² / 12
Espérance : E(X) = (0 + 60) / 2 = 30 secondes
Variance : V(X) = (60 - 0)² / 12 = 3600 / 12 = 300 secondes²