Droites remarquables du triangle
Cette fiche présente les quatre types de droites remarquables dans un triangle : les médiatrices, les bissectrices, les médianes et les hauteurs.
1. Les médiatrices
Définition :
La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu.
Propriété :
Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes en un point appelé le centre du cercle circonscrit au triangle.
2. Les bissectrices
Définition :
La bissectrice d'un angle est la droite qui partage cet angle en deux angles égaux.
Propriété :
Les trois bissectrices d'un triangle sont concourantes en un point appelé le centre du cercle inscrit au triangle.
3. Les médianes
Définition :
Une médiane d'un triangle est un segment qui relie un sommet au milieu du côté opposé.
Propriété :
Les trois médianes d'un triangle sont concourantes en un point appelé le centre de gravité du triangle. Ce point est situé aux 2/3 de chaque médiane à partir du sommet.
4. Les hauteurs
Définition :
Une hauteur d'un triangle est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé (ou à son prolongement).
Propriété :
Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes en un point appelé l'orthocentre du triangle.
Tableau récapitulatif
| Droite remarquable | Définition | Point de concours |
|---|---|---|
| Médiatrice | Perpendiculaire au milieu d'un côté | Centre du cercle circonscrit |
| Bissectrice | Partage un angle en deux angles égaux | Centre du cercle inscrit |
| Médiane | Relie un sommet au milieu du côté opposé | Centre de gravité |
| Hauteur | Perpendiculaire passant par un sommet | Orthocentre |
Exercice d'application :
Soit un triangle ABC. Construis :
- La médiatrice du côté [BC]
- La bissectrice de l'angle BAC
- La médiane issue du sommet A
- La hauteur issue du sommet C
Que remarques-tu concernant les points d'intersection de ces droites ?
Note : N'oublie pas que ces propriétés sont valables pour tout type de triangle (équilatéral, isocèle, rectangle ou quelconque).