L'Approximation Linéaire
L'approximation linéaire est une technique fondamentale en analyse qui permet d'estimer la valeur d'une fonction près d'un point connu en utilisant la tangente à la courbe en ce point.
Définition
Soit \(f\) une fonction dérivable en un point \(a\). L'approximation linéaire de \(f\) au voisinage de \(a\) est donnée par :
Cette approximation est également appelée le développement limité d'ordre 1 de \(f\) en \(a\).
Théorème
Pour \(x\) proche de \(a\), l'erreur d'approximation est négligeable par rapport à \(x-a\). Autrement dit :
Exemple
Prenons \(f(x) = \sqrt{x}\) au voisinage de \(a = 4\).
- \(f(4) = 2\)
- \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\), donc \(f'(4) = \frac{1}{4}\)
- L'approximation linéaire est donc :
\[ \sqrt{x} \approx 2 + \frac{1}{4}(x-4) = \frac{1}{4}x + 1 \]
Note importante
L'approximation linéaire est particulièrement utile pour estimer rapidement des valeurs de fonctions complexes près d'un point connu, ou pour simplifier des calculs dans certains problèmes physiques ou d'ingénierie.
Applications de l'approximation linéaire
- Estimation rapide de valeurs de fonctions
- Simplification de calculs complexes
- Résolution de problèmes d'optimisation
- Analyse d'erreurs en calcul numérique