Exercices d'approximation linéaire
L'approximation linéaire est une technique importante en analyse. Elle permet d'estimer la valeur d'une fonction près d'un point donné en utilisant sa dérivée. Voici quelques exercices pour vous entraîner.
Exercice 1
Soit \(f(x) = \sqrt{x}\) au voisinage de \(a = 4\).
- Calculer \(f'(x)\) et \(f'(4)\).
- Donner l'expression de l'approximation linéaire de \(f\) au voisinage de 4.
- Utiliser cette approximation pour estimer \(\sqrt{4.1}\).
Solution de l'exercice 1
- \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\) et \(f'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{4}\)
- L'approximation linéaire est : \(f(x) \approx f(4) + f'(4)(x-4) = 2 + \frac{1}{4}(x-4)\)
- \(\sqrt{4.1} \approx 2 + \frac{1}{4}(4.1-4) = 2 + \frac{0.1}{4} = 2.025\)
La valeur réelle de \(\sqrt{4.1}\) est environ 2.024846... L'approximation est donc très proche.
Exercice 2
On considère la fonction \(f(x) = \ln(x)\) au voisinage de \(a = 1\).
- Calculer \(f'(x)\) et \(f'(1)\).
- Donner l'expression de l'approximation linéaire de \(f\) au voisinage de 1.
- Utiliser cette approximation pour estimer \(\ln(1.1)\).
Solution de l'exercice 2
- \(f'(x) = \frac{1}{x}\) et \(f'(1) = 1\)
- L'approximation linéaire est : \(f(x) \approx f(1) + f'(1)(x-1) = 0 + 1(x-1) = x-1\)
- \(\ln(1.1) \approx 1.1 - 1 = 0.1\)
La valeur réelle de \(\ln(1.1)\) est environ 0.0953... L'approximation est assez proche pour une estimation rapide.
Exercice 3
Soit \(f(x) = \cos(x)\) au voisinage de \(a = 0\).
- Calculer \(f'(x)\) et \(f'(0)\).
- Donner l'expression de l'approximation linéaire de \(f\) au voisinage de 0.
- Utiliser cette approximation pour estimer \(\cos(0.1)\).
Solution de l'exercice 3
- \(f'(x) = -\sin(x)\) et \(f'(0) = 0\)
- L'approximation linéaire est : \(f(x) \approx f(0) + f'(0)(x-0) = 1 + 0(x) = 1\)
- \(\cos(0.1) \approx 1\)
La valeur réelle de \(\cos(0.1)\) est environ 0.9950... L'approximation est assez bonne pour des angles proches de 0.