L'équation de la tangente à une courbe
Définition
La tangente à une courbe représentative d'une fonction \(f\) en un point \(A\) d'abscisse \(a\) est la droite qui passe par le point \(A(a, f(a))\) et dont le coefficient directeur est égal à la dérivée de \(f\) en \(a\), soit \(f'(a)\).
Théorème : Équation de la tangente
L'équation de la tangente à la courbe représentative de \(f\) au point d'abscisse \(a\) est donnée par :
\[y = f'(a)(x - a) + f(a)\]
Méthode pour trouver l'équation de la tangente
- Calculer \(f'(x)\), la dérivée de \(f\).
- Évaluer \(f'(a)\) et \(f(a)\).
- Appliquer la formule : \(y = f'(a)(x - a) + f(a)\)
Exemple
Soit \(f(x) = x^2 - 2x + 1\). Trouvons l'équation de la tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(a = 1\).
- \(f'(x) = 2x - 2\)
- \(f'(1) = 2(1) - 2 = 0\) et \(f(1) = 1^2 - 2(1) + 1 = 0\)
- Équation de la tangente : \(y = 0(x - 1) + 0\), soit \(y = 0\)
La tangente est donc la droite horizontale d'équation \(y = 0\).
Interprétation géométrique
La tangente à une courbe en un point donné représente la meilleure approximation linéaire de la fonction au voisinage de ce point. Elle donne une indication sur le comportement local de la fonction, notamment sa croissance ou décroissance.
Applications
- Étude des variations d'une fonction
- Approximation linéaire
- Problèmes d'optimisation