Exercices sur l'équation de la tangente
Dans cette série d'exercices, nous allons travailler sur la détermination de l'équation de la tangente à une courbe en un point donné. N'oubliez pas que l'équation de la tangente s'écrit sous la forme \(y = f'(a)(x-a) + f(a)\), où \(a\) est l'abscisse du point de tangence.
Exercice 1
Soit la fonction \(f(x) = x^2 - 2x + 3\).
- Calculer \(f'(x)\).
- Déterminer l'équation de la tangente à la courbe représentative de \(f\) au point d'abscisse 1.
Solution de l'exercice 1
- \(f'(x) = 2x - 2\)
-
Au point d'abscisse 1 :
\(f'(1) = 2(1) - 2 = 0\)
\(f(1) = 1^2 - 2(1) + 3 = 2\)
L'équation de la tangente est : \(y = 0(x - 1) + 2\), soit \(y = 2\)
Exercice 2
Considérons la fonction \(g(x) = x^3 - 3x + 1\).
- Calculer \(g'(x)\).
- Déterminer l'équation de la tangente à la courbe représentative de \(g\) au point d'abscisse 0.
Solution de l'exercice 2
- \(g'(x) = 3x^2 - 3\)
-
Au point d'abscisse 0 :
\(g'(0) = 3(0)^2 - 3 = -3\)
\(g(0) = 0^3 - 3(0) + 1 = 1\)
L'équation de la tangente est : \(y = -3(x - 0) + 1\), soit \(y = -3x + 1\)
Exercice 3
Soit la fonction \(h(x) = \frac{1}{x + 1}\) définie pour \(x \neq -1\).
- Calculer \(h'(x)\).
- Déterminer l'équation de la tangente à la courbe représentative de \(h\) au point d'abscisse 1.
Solution de l'exercice 3
- \(h'(x) = -\frac{1}{(x + 1)^2}\)
-
Au point d'abscisse 1 :
\(h'(1) = -\frac{1}{(1 + 1)^2} = -\frac{1}{4}\)
\(h(1) = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}\)
L'équation de la tangente est : \(y = -\frac{1}{4}(x - 1) + \frac{1}{2}\)