1. Introduction
L'étude des variations d'une fonction est une étape cruciale pour comprendre son comportement. Elle permet de déterminer les intervalles sur lesquels la fonction croît ou décroît, ainsi que ses extremums locaux.
2. Lien entre signe de la dérivée et variations de la fonction
Théorème
Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\) et \(f'\) sa fonction dérivée. Alors :
- Si \(f'(x) > 0\) pour tout \(x \in I\), alors \(f\) est strictement croissante sur \(I\).
- Si \(f'(x) < 0\) pour tout \(x \in I\), alors \(f\) est strictement décroissante sur \(I\).
- Si \(f'(x) = 0\) pour tout \(x \in I\), alors \(f\) est constante sur \(I\).
3. Méthode pour étudier les variations d'une fonction
- Déterminer le domaine de définition de la fonction \(f\).
- Calculer la dérivée \(f'\) de la fonction \(f\).
- Résoudre l'équation \(f'(x) = 0\) pour trouver les points critiques.
- Étudier le signe de \(f'(x)\) sur chaque intervalle délimité par les points critiques.
- Dresser le tableau de variations de \(f\).
Exemple
Étudions les variations de la fonction \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\) sur \(\mathbb{R}\).
- Domaine de définition : \(\mathbb{R}\)
- Dérivée : \(f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)\)
- Points critiques : \(f'(x) = 0\) pour \(x = 0\) et \(x = 2\)
- Étude du signe de \(f'(x)\) :
x -∞ 0 2 +∞ f'(x) + - + - Tableau de variations :
x -∞ 0 2 +∞ f(x) +∞ 2 -2 +∞ ↘ ↘ ↗
4. Extremums locaux
Définition
Un extremum local d'une fonction \(f\) est un point où la fonction atteint une valeur maximale ou minimale sur un intervalle ouvert contenant ce point.
- Un maximum local est un point où la fonction atteint une valeur maximale localement.
- Un minimum local est un point où la fonction atteint une valeur minimale localement.
Les extremums locaux peuvent être identifiés en étudiant les changements de variation de la fonction :
- Si la fonction passe de croissante à décroissante, on a un maximum local.
- Si la fonction passe de décroissante à croissante, on a un minimum local.