Exercices sur l'étude des variations d'une fonction
Ces exercices vous permettront de vous entraîner à étudier les variations d'une fonction à l'aide de sa dérivée.
Exercice 1
Soit \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 1\) définie sur \(\mathbb{R}\).
- Calculer \(f'(x)\).
- Étudier le signe de \(f'(x)\) sur \(\mathbb{R}\).
- En déduire le tableau de variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
- Déterminer les extremums de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
Solution de l'exercice 1
- \(f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)\)
-
Étude du signe de \(f'(x)\) :
\(3x(x-2) = 0\) pour \(x=0\) et \(x=2\)
\(f'(x) > 0\) pour \(x < 0\) et \(x > 2\)
\(f'(x) < 0\) pour \(0 < x < 2\) -
Tableau de variations :
-
Extremums :
Maximum local : \(f(0) = 1\)
Minimum local : \(f(2) = -3\)
Exercice 2
Soit \(g(x) = x^2e^{-x}\) définie sur \(\mathbb{R}\).
- Calculer \(g'(x)\).
- Résoudre l'équation \(g'(x) = 0\).
- Étudier le signe de \(g'(x)\) sur \(\mathbb{R}\).
- En déduire le tableau de variations de \(g\) sur \(\mathbb{R}\).
- Déterminer l'extremum de \(g\) sur \(\mathbb{R}\).
Indice : Pour la dérivée, n'oubliez pas d'utiliser la formule du produit.
Solution de l'exercice 2
- \(g'(x) = 2xe^{-x} + x^2(-e^{-x}) = e^{-x}(2x - x^2) = e^{-x}x(2-x)\)
- \(g'(x) = 0\) pour \(x=0\) ou \(x=2\)
-
Étude du signe de \(g'(x)\) :
\(e^{-x}\) est toujours positif sur \(\mathbb{R}\)
\(x(2-x) > 0\) pour \(0 < x < 2\)
\(x(2-x) < 0\) pour \(x < 0\) et \(x > 2\) -
Tableau de variations :
-
Extremum :
Maximum global : \(g(2) = 4e^{-2}\)