La Dérivée d'une Fonction Composée
Définition : Fonction composée
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions. La fonction composée \(f \circ g\) est définie par :
\((f \circ g)(x) = f(g(x))\)
On lit "f rond g".
Théorème : Dérivée d'une fonction composée
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions dérivables. La dérivée de la fonction composée \(f \circ g\) est donnée par :
\((f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \times g'(x)\)
Cette formule est souvent appelée "la règle de la chaîne".
Exemple
Calculons la dérivée de \(h(x) = \sin(x^2)\)
Ici, \(h = f \circ g\) avec \(f(x) = \sin(x)\) et \(g(x) = x^2\)
On a : \(f'(x) = \cos(x)\) et \(g'(x) = 2x\)
Donc : \(h'(x) = f'(g(x)) \times g'(x) = \cos(x^2) \times 2x = 2x\cos(x^2)\)
La dérivation des fonctions composées est un outil puissant qui permet de calculer les dérivées de fonctions complexes en les décomposant en fonctions plus simples. Cette technique est particulièrement utile dans de nombreux domaines des mathématiques et de la physique.
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