Applications du Nombre Dérivé
Le nombre dérivé est un outil puissant en mathématiques avec de nombreuses applications pratiques. Voici quelques-unes des applications les plus importantes en classe de Première :
1. Étude des variations d'une fonction
Le signe du nombre dérivé permet de déterminer les intervalles où une fonction est croissante ou décroissante.
- Si f'(x) > 0 sur un intervalle, alors f est strictement croissante sur cet intervalle.
- Si f'(x) < 0 sur un intervalle, alors f est strictement décroissante sur cet intervalle.
- Si f'(x) = 0 en un point x0, alors x0 est un extremum potentiel de f.
2. Recherche d'extremums
Les points où le nombre dérivé s'annule (ou n'existe pas) sont des candidats pour être des extremums de la fonction.
Exemple : Soit f(x) = x³ - 3x² + 2.
f'(x) = 3x² - 6x
f'(x) = 0 quand x = 0 ou x = 2
Ces points sont des candidats pour être des extremums de f.
3. Équation de la tangente
Le nombre dérivé permet de déterminer l'équation de la tangente à la courbe en un point donné.
Équation de la tangente au point a : y = f'(a)(x - a) + f(a)
4. Approximation linéaire
Le nombre dérivé est utilisé pour approximer la valeur d'une fonction près d'un point connu.
f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x - a) pour x proche de a
5. Problèmes d'optimisation
Le nombre dérivé est crucial pour résoudre des problèmes d'optimisation, où l'on cherche à maximiser ou minimiser une quantité.
Note importante
L'étude du signe de la dérivée et la recherche des extremums sont des compétences essentielles pour l'analyse de fonctions en Première et en Terminale.