Introduction aux équations
Une équation est une égalité mathématique contenant une ou plusieurs inconnues. Résoudre une équation consiste à trouver toutes les valeurs de l'inconnue qui rendent l'égalité vraie. En classe de Première, nous allons approfondir les techniques de résolution d'équations.
Rappel : Équations du premier degré
Une équation du premier degré est de la forme \( ax + b = 0 \), où \( a \) et \( b \) sont des nombres réels et \( a \neq 0 \). La solution est donnée par \( x = -\frac{b}{a} \).
Exemple :
Résoudre l'équation \( 2x - 5 = 0 \)
Solution : \( 2x = 5 \) donc \( x = \frac{5}{2} = 2.5 \)
Équations du second degré
Une équation du second degré est de la forme \( ax^2 + bx + c = 0 \), où \( a \), \( b \), et \( c \) sont des nombres réels et \( a \neq 0 \).
Théorème : Discriminant et solutions
Pour une équation \( ax^2 + bx + c = 0 \) :
- Le discriminant est donné par \( \Delta = b^2 - 4ac \)
- Si \( \Delta > 0 \), il y a deux solutions réelles distinctes : \( x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \) et \( x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \)
- Si \( \Delta = 0 \), il y a une solution réelle double : \( x = -\frac{b}{2a} \)
- Si \( \Delta < 0 \), il n'y a pas de solution réelle
Exemple :
Résoudre l'équation \( x^2 - 5x + 6 = 0 \)
Solution :
\( a = 1, b = -5, c = 6 \)
\( \Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1 \)
\( x_1 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2} = 2 \) et \( x_2 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2} = 3 \)
Équations se ramenant au second degré
Certaines équations peuvent être transformées en équations du second degré par substitution.
Exemple :
Résoudre l'équation \( x^4 - 5x^2 + 4 = 0 \)
Solution : Posons \( u = x^2 \). L'équation devient \( u^2 - 5u + 4 = 0 \)
C'est une équation du second degré en \( u \). On la résout :
\( \Delta = 25 - 16 = 9 \)
\( u_1 = 1 \) et \( u_2 = 4 \)
Donc \( x^2 = 1 \) ou \( x^2 = 4 \)
Les solutions sont \( x = -2, -1, 1, 2 \)
N'oubliez pas de vérifier vos solutions en les substituant dans l'équation originale !
Exercice d'application
Résoudre l'équation suivante : \( 2x^2 - 7x - 4 = 0 \)