Introduction aux Inéquations
Une inéquation est une inégalité mathématique impliquant une variable inconnue. Contrairement aux équations qui cherchent une valeur exacte, les inéquations cherchent un ensemble de valeurs qui satisfont l'inégalité.
Symboles d'inégalité
- < : strictement inférieur à
- ≤ : inférieur ou égal à
- > : strictement supérieur à
- ≥ : supérieur ou égal à
Types d'inéquations étudiées en Première
- Inéquations du premier degré
- Inéquations du second degré
- Inéquations avec valeur absolue
- Inéquations rationnelles
Résolution d'inéquations du premier degré
Les inéquations du premier degré sont de la forme ax + b < 0, ax + b ≤ 0, ax + b > 0, ou ax + b ≥ 0, où a ≠ 0.
Exemple:
Résoudre l'inéquation: 2x - 5 > 3
Solution:
- 2x - 5 > 3
- 2x > 8 (ajouter 5 des deux côtés)
- x > 4 (diviser par 2)
L'ensemble solution est donc : ]4; +∞[
Résolution d'inéquations du second degré
Pour résoudre une inéquation du second degré (ax² + bx + c < 0, par exemple), on suit ces étapes :
- Résoudre l'équation ax² + bx + c = 0
- Étudier le signe de a
- Tracer la parabole
- Déterminer l'ensemble solution en fonction du signe de l'inégalité
Exemple:
Résoudre l'inéquation: x² - x - 6 ≤ 0
Solution:
- L'équation x² - x - 6 = 0 a pour solutions x = -2 et x = 3
- a = 1 > 0, donc la parabole est orientée vers le haut
- L'ensemble solution est [-2; 3], car la parabole est en dessous de l'axe des x entre ces deux valeurs
Inéquations avec valeur absolue
Pour résoudre une inéquation avec valeur absolue, on utilise la définition de la valeur absolue :
|x| > a équivaut à x < -a ou x > a
Inéquations rationnelles
Pour résoudre une inéquation rationnelle (de la forme f(x)/g(x) < 0, par exemple), on suit ces étapes :
- Trouver les racines du numérateur et du dénominateur
- Étudier le signe du numérateur et du dénominateur séparément
- Combiner les résultats pour déterminer le signe de la fraction
- Exclure les valeurs qui annulent le dénominateur
Note importante:
N'oubliez pas que lors de la multiplication ou de la division par un nombre négatif, le sens de l'inégalité change.
Représentation graphique des solutions
Il est souvent utile de représenter graphiquement les solutions d'une inéquation sur une droite des réels :
-∞ ────[──────]────────────────── +∞
-2 3
Cette représentation correspond à l'ensemble solution [-2; 3] de l'exemple précédent.
Conclusion
La résolution d'inéquations est une compétence cruciale en mathématiques, utilisée dans de nombreux domaines comme l'optimisation, la physique, et l'économie. Pratiquez régulièrement pour maîtriser ces techniques!
Exercices sur les inéquations