Table des matières
1. Introduction
L'étude de fonctions est un domaine fondamental en analyse mathématique. Elle permet de comprendre le comportement d'une fonction et de tracer sa représentation graphique. Ce cours couvre les principaux aspects de l'étude de fonctions au niveau de la classe de première.
2. Domaine de définition
Le domaine de définition d'une fonction \(f\) est l'ensemble des valeurs réelles \(x\) pour lesquelles \(f(x)\) est défini.
Pour déterminer le domaine de définition, il faut considérer :
- Les dénominateurs (qui ne doivent pas s'annuler)
- Les racines carrées (dont l'argument doit être positif ou nul)
- Les logarithmes (dont l'argument doit être strictement positif)
Exemple : Soit \(f(x) = \frac{\sqrt{x+1}}{x-2}\)
Domaine de définition : \(D_f = \{x \in \mathbb{R} \mid x+1 \geq 0 \text{ et } x \neq 2\} = ]-1,2[ \cup ]2,+\infty[\)
3. Parité
Une fonction \(f\) est :
- paire si pour tout \(x\) de son domaine de définition, \(f(-x) = f(x)\)
- impaire si pour tout \(x\) de son domaine de définition, \(f(-x) = -f(x)\)
La parité d'une fonction permet de déduire des symétries dans sa représentation graphique.
4. Périodicité
Une fonction \(f\) est périodique de période \(T\) si pour tout \(x\) de son domaine de définition, \(f(x+T) = f(x)\)
Les fonctions trigonométriques sont des exemples classiques de fonctions périodiques.
5. Limites et continuité
L'étude des limites permet de comprendre le comportement d'une fonction aux bornes de son domaine de définition et à l'infini.
Une fonction \(f\) est continue en un point \(a\) si :
- \(f(a)\) est défini
- \(\lim_{x \to a} f(x)\) existe
- \(\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\)
6. Dérivation
La dérivée d'une fonction permet d'étudier ses variations et de déterminer ses extrema.
La dérivée de \(f\) au point \(a\) est définie par :
\(f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}\)
Propriétés de dérivation :
- \((u + v)' = u' + v'\)
- \((uv)' = u'v + uv'\)
- \((\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\)
7. Variations et extrema
L'étude du signe de la dérivée permet de déterminer les variations de la fonction.
Sur un intervalle \(I\) :
- Si \(f' > 0\), alors \(f\) est strictement croissante sur \(I\)
- Si \(f' < 0\), alors \(f\) est strictement décroissante sur \(I\)
Les extrema locaux se trouvent aux points où la dérivée s'annule ou n'est pas définie.
8. Asymptotes
Les asymptotes décrivent le comportement de la fonction à l'infini.
On distingue trois types d'asymptotes :
- Asymptote verticale : \(\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty\)
- Asymptote horizontale : \(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = b\)
- Asymptote oblique : \(\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - (ax+b)] = 0\)
9. Représentation graphique
La représentation graphique d'une fonction synthétise toutes les informations obtenues lors de son étude.
10. Exercices d'application
- Étudiez la fonction \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1\) sur \(\mathbb{R}\).
- Déterminez le domaine de définition et les asymptotes de \(g(x) = \frac{x^2-1}{x-1}\).
- Étudiez la parité et la périodicité de \(h(x) = \sin(2x) + \cos(x)\).