Introduction aux fonctions de référence
Les fonctions de référence sont des fonctions fondamentales en mathématiques qui servent de base pour comprendre et étudier des fonctions plus complexes. En classe de première, on étudie principalement cinq fonctions de référence.
1. Les cinq fonctions de référence
- La fonction affine : \(f(x) = ax + b\)
- La fonction carré : \(f(x) = x^2\)
- La fonction cube : \(f(x) = x^3\)
- La fonction inverse : \(f(x) = \frac{1}{x}\)
- La fonction racine carrée : \(f(x) = \sqrt{x}\)
2. Caractéristiques des fonctions de référence
2.1 Fonction affine : \(f(x) = ax + b\)
- Domaine de définition : \(\mathbb{R}\)
- Représentation graphique : une droite
- Croissance : croissante si \(a > 0\), décroissante si \(a < 0\), constante si \(a = 0\)
- Parité : ni paire ni impaire (sauf cas particuliers)
2.2 Fonction carré : \(f(x) = x^2\)
- Domaine de définition : \(\mathbb{R}\)
- Représentation graphique : une parabole
- Croissance : décroissante sur \(]-\infty, 0]\), croissante sur \([0, +\infty[\)
- Parité : fonction paire
2.3 Fonction cube : \(f(x) = x^3\)
- Domaine de définition : \(\mathbb{R}\)
- Représentation graphique : une cubique
- Croissance : strictement croissante sur \(\mathbb{R}\)
- Parité : fonction impaire
2.4 Fonction inverse : \(f(x) = \frac{1}{x}\)
- Domaine de définition : \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\)
- Représentation graphique : une hyperbole
- Croissance : strictement décroissante sur chaque intervalle de son domaine de définition
- Parité : fonction impaire
2.5 Fonction racine carrée : \(f(x) = \sqrt{x}\)
- Domaine de définition : \([0, +\infty[\)
- Représentation graphique : une demi-parabole
- Croissance : strictement croissante sur \([0, +\infty[\)
- Parité : ni paire ni impaire
3. Représentations graphiques
4. Tableau comparatif
| Fonction | Domaine | Ensemble image | Parité | Monotonie |
|---|---|---|---|---|
| \(ax + b\) | \(\mathbb{R}\) | \(\mathbb{R}\) | Ni paire ni impaire* | Monotone |
| \(x^2\) | \(\mathbb{R}\) | \([0, +\infty[\) | Paire | Non monotone |
| \(x^3\) | \(\mathbb{R}\) | \(\mathbb{R}\) | Impaire | Croissante |
| \(\frac{1}{x}\) | \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\) | \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\) | Impaire | Décroissante par morceaux |
| \(\sqrt{x}\) | \([0, +\infty[\) | \([0, +\infty[\) | Ni paire ni impaire | Croissante |
* Sauf cas particuliers (ex: \(f(x) = x\) est impaire)
5. Propriétés importantes
5.1 Composition de fonctions
La composition de fonctions de référence permet de créer des fonctions plus complexes. Par exemple :
- \(g(x) = (x^2 + 1)^3\) est une composition de la fonction carré et de la fonction cube
- \(h(x) = \sqrt{|x|}\) est une composition de la valeur absolue et de la fonction racine carrée
5.2 Transformations
Les transformations de base permettent de modifier les fonctions de référence :
- Translation : \(f(x) + k\) ou \(f(x - h)\)
- Dilatation : \(af(x)\) ou \(f(bx)\)
- Symétrie : \(-f(x)\) ou \(f(-x)\)
6. Applications
Les fonctions de référence sont utilisées dans de nombreux domaines :
- Physique : modélisation de mouvements, lois de la nature
- Économie : coûts, revenus, bénéfices
- Biologie : croissance de populations
- Informatique : algorithmes et optimisation
7. Exercices proposés
- Tracer la courbe de \(f(x) = 2x^2 - 3\) et identifier les transformations par rapport à \(x^2\).
- Étudier le signe de la fonction \(g(x) = \frac{x^2 - 1}{x}\).
- Résoudre graphiquement l'équation \(\sqrt{x} = x - 1\).
- Déterminer le domaine de définition de \(h(x) = \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}\).