La fonction cube
La fonction cube est une fonction de référence importante en mathématiques. Elle est définie sur l'ensemble des nombres réels et associe à chaque nombre son cube.
Définition : La fonction cube, notée \(f\), est définie par :
\[f : x \mapsto x^3\]
ou de manière équivalente :
\[f(x) = x^3\]
1. Représentation graphique
Voici la représentation graphique de la fonction cube :
2. Propriétés de la fonction cube
Propriétés principales :
- Domaine de définition : \(\mathbb{R}\) (ensemble des nombres réels)
- Ensemble image : \(\mathbb{R}\) (ensemble des nombres réels)
- La courbe représentative est une cubique
- La fonction est impaire : \(f(-x) = -f(x)\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\)
- La fonction est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\)
- La fonction admet un point d'inflexion en \((0,0)\)
3. Tableau de variation
| x | \(-\infty\) | \(+\infty\) |
|---|---|---|
| Variation de f | ↗ | |
4. Symétrie et parité
La fonction cube est symétrique par rapport à l'origine du repère. Cela signifie que sa courbe représentative reste inchangée si on la fait pivoter de 180° autour de l'origine.
Exemple : Vérifions la parité impaire pour \(x = 2\) :
\(f(2) = 2^3 = 8\)
\(f(-2) = (-2)^3 = -8\)
On constate bien que \(f(-2) = -f(2)\), ce qui illustre la parité impaire de la fonction.
5. Résolution d'équations et d'inéquations
La fonction cube est utile pour résoudre certains types d'équations et d'inéquations :
- Équation : \(x^3 = a\) a pour unique solution réelle \(x = \sqrt[3]{a}\)
- Inéquation : \(x^3 > a\) a pour solution \(x > \sqrt[3]{a}\)
Note : Contrairement à la fonction carré, la fonction cube est bijective sur \(\mathbb{R}\). Cela signifie que chaque valeur de \(y\) correspond à une unique valeur de \(x\).
6. Applications de la fonction cube
La fonction cube apparaît dans divers domaines :
- Géométrie : calcul de volumes
- Physique : lois de Kepler sur le mouvement des planètes
- Ingénierie : modélisation de certains comportements non linéaires
- Économie : modèles de croissance cubique
7. Dérivée et primitive de la fonction cube
Dérivée : La dérivée de la fonction cube est :
\[f'(x) = 3x^2\]
Primitive : Une primitive de la fonction cube est :
\[F(x) = \frac{1}{4}x^4 + C\], où C est une constante réelle.
8. Exercices proposés
- Tracez la courbe de \(g(x) = x^3 - 3x\) et comparez-la à celle de \(f(x) = x^3\).
- Résolvez l'équation \(x^3 = 27\).
- Résolvez l'inéquation \(x^3 < -8\).
- Déterminez les coordonnées du point d'inflexion de la fonction \(h(x) = 2x^3 + 3x^2 - 5x + 1\).