La fonction inverse
La fonction inverse est une fonction de référence fondamentale en mathématiques. Elle associe à chaque nombre non nul son inverse.
Définition : La fonction inverse, notée \(f\), est définie par :
\[f : x \mapsto \frac{1}{x}\]
ou de manière équivalente :
\[f(x) = \frac{1}{x}\]
1. Représentation graphique
Voici la représentation graphique de la fonction inverse :
2. Propriétés de la fonction inverse
Propriétés principales :
- Domaine de définition : \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\) (tous les réels sauf 0)
- Ensemble image : \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\)
- La courbe représentative est une hyperbole
- La fonction est impaire : \(f(-x) = -f(x)\) pour tout \(x \neq 0\)
- Les axes Ox et Oy sont des asymptotes de la courbe
- La fonction est strictement décroissante sur chacun de ses intervalles de définition : \(]-\infty, 0[\ et\ ]0, +\infty[\)
3. Tableau de variation
| x | \(-\infty\) | 0⁻ | 0⁺ | \(+\infty\) |
|---|---|---|---|---|
| Variation de f | ↘ | \(-\infty\) | \(+\infty\) | ↘ |
4. Symétrie et parité
La fonction inverse est symétrique par rapport à l'origine du repère. Cela signifie que sa courbe représentative reste inchangée si on la fait pivoter de 180° autour de l'origine.
Exemple : Vérifions la parité impaire pour \(x = 2\) :
\(f(2) = \frac{1}{2} = 0.5\)
\(f(-2) = \frac{1}{-2} = -0.5\)
On constate bien que \(f(-2) = -f(2)\), ce qui illustre la parité impaire de la fonction.
5. Asymptotes et limites
Asymptotes :
- Asymptote verticale : x = 0
- Asymptote horizontale : y = 0
Limites :
- \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0\)
- \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0\)
- \(\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty\)
- \(\lim_{x \to 0^-} f(x) = -\infty\)
6. Applications de la fonction inverse
La fonction inverse apparaît dans de nombreux domaines :
- Physique : loi d'Ohm, loi de Boyle-Mariotte
- Économie : élasticité de la demande
- Géométrie : transformations homographiques
- Statistiques : régression hyperbolique
7. Dérivée et primitive de la fonction inverse
Dérivée : La dérivée de la fonction inverse est :
\[f'(x) = -\frac{1}{x^2}\]
Primitive : Une primitive de la fonction inverse est :
\[F(x) = \ln|x| + C\], où C est une constante réelle.
8. Exercices proposés
- Tracez la courbe de \(g(x) = \frac{1}{x} + 2\) et comparez-la à celle de \(f(x) = \frac{1}{x}\).
- Résolvez l'équation \(\frac{1}{x} = 4\).
- Résolvez l'inéquation \(\frac{1}{x} > 2\).
- Déterminez les asymptotes de la fonction \(h(x) = \frac{3}{x-1} + 2\).