La fonction racine carrée
La fonction racine carrée est une fonction de référence importante en mathématiques. Elle associe à chaque nombre positif ou nul sa racine carrée.
Définition : La fonction racine carrée, notée \(f\), est définie par :
\[f : x \mapsto \sqrt{x}\]
ou de manière équivalente :
\[f(x) = \sqrt{x}\]
1. Représentation graphique
Voici la représentation graphique de la fonction racine carrée :
2. Propriétés de la fonction racine carrée
Propriétés principales :
- Domaine de définition : \(\mathbb{R}^+ = [0, +\infty[\) (nombres réels positifs ou nuls)
- Ensemble image : \(\mathbb{R}^+ = [0, +\infty[\)
- La courbe représentative est une demi-parabole
- La fonction est strictement croissante sur son domaine de définition
- L'axe des ordonnées est une tangente à la courbe en (0,0)
3. Tableau de variation
| x | 0 | \(+\infty\) |
|---|---|---|
| Variation de f | ↗ | |
4. Propriétés algébriques
Propriétés importantes :
- \(\sqrt{a^2} = |a|\) pour tout \(a \in \mathbb{R}\)
- \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\) pour \(a, b \geq 0\)
- \(\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) pour \(a \geq 0\) et \(b > 0\)
- \((\sqrt{a})^2 = a\) pour \(a \geq 0\)
Exemple : Simplifions \(\sqrt{18}\) :
\(\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2}\)
5. Limites et continuité
Limites :
- \(\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty\)
- \(\lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} = 0\)
La fonction racine carrée est continue sur son domaine de définition \([0, +\infty[\).
6. Applications de la fonction racine carrée
La fonction racine carrée apparaît dans de nombreux domaines :
- Géométrie : calcul de longueurs (théorème de Pythagore)
- Physique : calcul de vitesses (chute libre)
- Statistiques : écart-type
- Informatique : algorithmes de compression d'image
7. Dérivée et primitive de la fonction racine carrée
Dérivée : La dérivée de la fonction racine carrée est :
\[f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\] pour \(x > 0\)
Primitive : Une primitive de la fonction racine carrée est :
\[F(x) = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + C\], où C est une constante réelle.
8. Exercices proposés
- Simplifiez l'expression \(\sqrt{50} - \sqrt{8}\).
- Résolvez l'équation \(\sqrt{x+1} = 3\).
- Déterminez le domaine de définition de la fonction \(g(x) = \sqrt{4-x}\).
- Tracez la courbe de la fonction \(h(x) = \sqrt{x} + 1\) et comparez-la à celle de \(f(x) = \sqrt{x}\).