Exercices sur la fonction racine carrée

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Exercices sur la fonction racine carrée

Voici une série d'exercices pour vous entraîner sur la fonction racine carrée. N'hésitez pas à utiliser une feuille de brouillon pour vos calculs !

Exercice 1 : Simplification d'expressions

Simplifiez les expressions suivantes :

  1. \(\sqrt{50} - \sqrt{8}\)
  2. \(\sqrt{27} + \sqrt{12}\)
  3. \(\frac{\sqrt{20}}{\sqrt{5}}\)

Solution de l'exercice 1 :

  1. \(\sqrt{50} - \sqrt{8} = \sqrt{25 \cdot 2} - \sqrt{4 \cdot 2} = 5\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2}\)
  2. \(\sqrt{27} + \sqrt{12} = \sqrt{9 \cdot 3} + \sqrt{4 \cdot 3} = 3\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 5\sqrt{3}\)
  3. \(\frac{\sqrt{20}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{4 \cdot 5}}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = 2\)

Exercice 2 : Résolution d'équations

Résolvez les équations suivantes :

  1. \(\sqrt{x+1} = 3\)
  2. \(\sqrt{2x-5} = x-2\)
  3. \(\sqrt{x^2-4} = x\)

Solution de l'exercice 2 :

  1. \(\sqrt{x+1} = 3\)
    \(x + 1 = 9\)
    \(x = 8\)
  2. \(\sqrt{2x-5} = x-2\)
    \(2x-5 = (x-2)^2\)
    \(2x-5 = x^2-4x+4\)
    \(x^2-6x+9 = 0\)
    \((x-3)^2 = 0\)
    \(x = 3\)
  3. \(\sqrt{x^2-4} = x\)
    \(x^2-4 = x^2\)
    \(-4 = 0\)
    Pas de solution réelle

Exercice 3 : Domaine de définition

Déterminez le domaine de définition des fonctions suivantes :

  1. \(f(x) = \sqrt{4-x}\)
  2. \(g(x) = \sqrt{x^2-9}\)
  3. \(h(x) = \sqrt{x+2} + \sqrt{3-x}\)

Solution de l'exercice 3 :

  1. \(f(x) = \sqrt{4-x}\) : \(D_f = ]-\infty, 4]\)
  2. \(g(x) = \sqrt{x^2-9}\) : \(D_g = ]-\infty, -3] \cup [3, +\infty[\)
  3. \(h(x) = \sqrt{x+2} + \sqrt{3-x}\) : \(D_h = [-2, 3]\)

Exercice 4 : Étude de fonction

Soit la fonction \(f(x) = \sqrt{x} + 1\) définie sur \([0, +\infty[\).

  1. Déterminez les coordonnées du point d'intersection de la courbe de f avec l'axe des ordonnées.
  2. Calculez \(f'(x)\) et étudiez le sens de variation de f.
  3. Calculez la limite de f en \(+\infty\).

Solution de l'exercice 4 :

  1. Le point d'intersection avec l'axe des ordonnées a pour coordonnées (0, f(0)) = (0, 1).
  2. \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\)
    \(f'(x) > 0\) pour tout \(x > 0\), donc f est strictement croissante sur \(]0, +\infty[\).
  3. \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x} + 1) = +\infty\)

Exercice 5 : Application concrète

Un jardinier veut créer un parterre de fleurs rectangulaire dont l'aire est de 12 m². La longueur du parterre est égale à sa largeur plus 2 mètres.

  1. Exprimez la largeur x du parterre en fonction de sa longueur y.
  2. En déduire une équation faisant intervenir la racine carrée.
  3. Résolvez cette équation pour trouver les dimensions du parterre.

Solution de l'exercice 5 :

  1. y = x + 2
  2. Aire = longueur × largeur
    12 = y × x = (x + 2) × x = x² + 2x
    x² + 2x - 12 = 0
  3. Résolvons x² + 2x - 12 = 0
    Δ = 2² + 4×1×12 = 52
    x = \(\frac{-2 \pm \sqrt{52}}{2}\)
    x = -1 ± \(\sqrt{13}\)
    La solution positive est x = -1 + \(\sqrt{13}\) ≈ 2,61 m (largeur)
    La longueur est y = x + 2 ≈ 4,61 m

N'hésitez pas à vous entraîner sur ces exercices et à consulter le cours sur la fonction racine carrée si vous avez besoin de réviser certains points.

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