Définition du logarithme
Le logarithme est une fonction mathématique fondamentale qui permet d'exprimer l'exposant auquel il faut élever une base pour obtenir un nombre donné.
\[ \log_b(x) = y \quad \text{équivaut à} \quad b^y = x \]
où \(b\) est la base du logarithme, \(x\) est l'argument (le nombre dont on cherche le logarithme), et \(y\) est le résultat.
Dans le programme de Première, on se concentre principalement sur le logarithme népérien, noté \(\ln\), qui utilise la base \(e\) (nombre d'Euler, approximativement égal à 2,71828).
Propriétés fondamentales des logarithmes
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Logarithme d'un produit :
\[ \ln(ab) = \ln(a) + \ln(b) \]
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Logarithme d'un quotient :
\[ \ln(\frac{a}{b}) = \ln(a) - \ln(b) \]
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Logarithme d'une puissance :
\[ \ln(a^n) = n \ln(a) \]
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Changement de base :
\[ \log_b(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(b)} \]
Exemples d'application
Exemple 1 : Simplifier \(\ln(e^3)\)
\[ \ln(e^3) = 3 \ln(e) = 3 \times 1 = 3 \]
Exemple 2 : Calculer \(\ln(\sqrt{x})\)
\[ \ln(\sqrt{x}) = \ln(x^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2} \ln(x) \]
Note importante
Le logarithme n'est défini que pour les nombres strictement positifs. Ainsi, \(\ln(x)\) n'existe que pour \(x > 0\).