Définition et propriétés
Le logarithme népérien, noté ln, est une fonction fondamentale en mathématiques. C'est la fonction réciproque de la fonction exponentielle de base e (où e est le nombre d'Euler, environ égal à 2,71828).
\[ y = \ln(x) \quad \Leftrightarrow \quad e^y = x \quad \text{pour} \quad x > 0 \]
Propriétés principales
- Domaine de définition : \(]0; +\infty[\)
- Image : \(]-\infty; +\infty[\)
- \(\ln(1) = 0\) et \(\ln(e) = 1\)
- Fonction strictement croissante sur son domaine de définition
- Fonction continue sur son domaine de définition
- Fonction dérivable sur son domaine de définition, avec \((\ln x)' = \frac{1}{x}\)
Graphe de la fonction logarithme népérien
Propriétés algébriques
Pour tous réels strictement positifs a et b :
- \(\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)\)
- \(\ln(\frac{a}{b}) = \ln(a) - \ln(b)\)
- \(\ln(a^n) = n\ln(a)\) pour tout réel n
- \(\ln(\frac{1}{a}) = -\ln(a)\)
- \(\ln(\sqrt{a}) = \frac{1}{2}\ln(a)\)
Équation fonctionnelle
La fonction logarithme népérien satisfait l'équation fonctionnelle suivante pour tous x, y > 0 :
\[ \ln(xy) = \ln(x) + \ln(y) \]
Note importante
Le logarithme népérien est particulièrement utile pour résoudre des équations exponentielles et pour linéariser certaines relations non linéaires en sciences et en ingénierie.