Série d'exercices sur la fonction logarithme népérien
Exercice 1 : Calcul de valeurs
Calculez les valeurs suivantes :
- \(\ln(e)\)
- \(\ln(1)\)
- \(\ln(e^2)\)
- \(\ln(\sqrt{e})\)
- \(\ln(e) = 1\)
- \(\ln(1) = 0\)
- \(\ln(e^2) = 2\ln(e) = 2\)
- \(\ln(\sqrt{e}) = \ln(e^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2}\ln(e) = \frac{1}{2}\)
Exercice 2 : Propriétés algébriques
Simplifiez les expressions suivantes :
- \(\ln(ab)\)
- \(\ln(\frac{a}{b})\)
- \(\ln(a^3)\)
- \(\ln(\frac{1}{a^2})\)
- \(\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)\)
- \(\ln(\frac{a}{b}) = \ln(a) - \ln(b)\)
- \(\ln(a^3) = 3\ln(a)\)
- \(\ln(\frac{1}{a^2}) = \ln(1) - \ln(a^2) = -2\ln(a)\)
Exercice 3 : Équations logarithmiques
Résolvez les équations suivantes :
- \(\ln(x) = 2\)
- \(\ln(x+1) = 0\)
- \(2\ln(x) = \ln(8)\)
- \(\ln(x^2) = 6\)
- \(\ln(x) = 2 \Rightarrow x = e^2\)
- \(\ln(x+1) = 0 \Rightarrow x+1 = e^0 = 1 \Rightarrow x = 0\)
- \(2\ln(x) = \ln(8) \Rightarrow \ln(x^2) = \ln(8) \Rightarrow x^2 = 8 \Rightarrow x = \pm\sqrt{8} = \pm2\sqrt{2}\). Comme \(x > 0\), \(x = 2\sqrt{2}\)
- \(\ln(x^2) = 6 \Rightarrow x^2 = e^6 \Rightarrow x = \pm\sqrt{e^6} = \pm e^3\). Comme \(x > 0\), \(x = e^3\)
Exercice 4 : Dérivées
Calculez les dérivées des fonctions suivantes :
- \(f(x) = \ln(x)\)
- \(g(x) = x\ln(x)\)
- \(h(x) = \ln(x^2 + 1)\)
- \(k(x) = \frac{\ln(x)}{x}\)
- \(f'(x) = \frac{1}{x}\)
- \(g'(x) = \ln(x) + 1\)
- \(h'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}\)
- \(k'(x) = \frac{1 - \ln(x)}{x^2}\)